[论文解读] The Complexity of Fully Proportional Representation for Single-Crossing Electorates

Piotr Skowron, Lan Yu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2013

Game Theory and Voting Systems参考文献 19被引用 19

一句话总结

本文证明，在单交叉偏好下，Chamberlin–Courant规则的胜者确定是多项式时间可解的，而Monroe规则即使在这一受限领域内仍为NP难。然而，对于单交叉自恋型选举——即每位候选人至少被一名选民排名第一——本文为Monroe规则的平等版本开发了一种高效算法，凸显了在结构化偏好下，两种规则在计算复杂性上的关键差异。

ABSTRACT

We study the complexity of winner determination in single-crossing elections under two classic fully proportional representation rules---Chamberlin--Courant's rule and Monroe's rule. Winner determination for these rules is known to be NP-hard for unrestricted preferences. We show that for single-crossing preferences this problem admits a polynomial-time algorithm for Chamberlin--Courant's rule, but remains NP-hard for Monroe's rule. Our algorithm for Chamberlin--Courant's rule can be modified to work for elections with bounded single-crossing width. To circumvent the hardness result for Monroe's rule, we consider single-crossing elections that satisfy an additional constraint, namely, ones where each candidate is ranked first by at least one voter (such elections are called narcissistic). For single-crossing narcissistic elections, we provide an efficient algorithm for the egalitarian version of Monroe's rule.

研究动机与目标

• 确定在单交叉偏好下，Chamberlin–Courant规则与Monroe规则的胜者确定问题的计算复杂性。
• 研究诸如单交叉宽度或自恋型偏好等结构约束是否能为原本NP难的问题提供高效算法。
• 在偏好受限条件下，比较Monroe规则与Chamberlin–Courant规则的算法可解性差异。
• 为单交叉自恋型选举中的平等Monroe规则开发基于动态规划的算法。

提出的方法

• 为单交叉选举中的Chamberlin–Courant规则设计了一种动态规划算法，利用单交叉偏好所诱导的连续选民间隔结构。
• 通过泛化动态规划的状态表示，将该算法扩展至单交叉宽度有界的选举。
• 对于Monroe规则，通过从已知NP难问题的约化，证明了在单交叉选举中即使存在自恋约束，其仍为NP难。
• 为单交叉自恋型选举中的平等Monroe规则，开发了一种替代的动态规划方法，利用连续分配特性和选民排序。
• 该算法确保每位被选中的候选人被分配给一个连续的选民块，以最小化最大不满程度。
• 该方法与先前关于单峰偏好的工作形成对比，揭示了在算法结构上的根本差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单交叉偏好下，Chamberlin–Courant规则的胜者确定是否具有可解性？
• RQ2 Monroe规则的NP难性是否在单交叉偏好下依然成立，即使增加了额外的结构约束？
• RQ3 在单交叉自恋型选举中，能否高效求解Monroe规则的平等版本？
• RQ4 为单峰偏好设计的算法是否可推广至单交叉偏好？
• RQ5 是否可利用连续块性质，在自恋型设定之外为Monroe规则设计高效算法？

主要发现

• Chamberlin–Courant规则在单交叉偏好下具有多项式时间算法，且该结果可推广至单交叉宽度有界的选举。
• Monroe规则即使在单交叉偏好下仍为NP难，表明其计算障碍强于Chamberlin–Courant规则。
• 对于单交叉自恋型选举，本文为Monroe规则的平等版本开发了一种高效动态规划算法，实现了最优或近似最优的不满程度。
• 在单交叉自恋型选举中，Monroe规则的最优分配要求连续的选民间隔，且该算法强制执行此结构以最小化最大不满程度。
• 在示例情况下，平等Monroe规则的算法在ℓ∞-Monroe变体下，使用Borda不满函数时，总不满程度至多为m+1。
• 结果表明，基于连续块的方法在一般单交叉选举及Monroe规则的效用版本中均不适用，揭示了其固有的算法局限性。