[论文解读] The Complexity of Translationally Invariant Problems Beyond Ground State Energies

James D. Watson, Johannes Bausch+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用 8

一句话总结

本文证明了两个基本的量子多体问题——基态上局部测量的近似模拟（APX-SIM）与基态连通性（GSCON）——即使在平移不变的一维系统中，依然保持计算上难以处理。通过引入保持平移不变性等结构特性的通用‘提升定理’，作者证明了APX-SIM为PQMAEXP-完全，GSCON为QCMAEXP-完全，表明复杂性在高度对称、物理上自然的设置中依然存在。

ABSTRACT

It is known that three fundamental questions regarding local Hamiltonians -- approximating the ground state energy (the Local Hamiltonian problem), simulating local measurements on the ground space (APX-SIM), and deciding if the low energy space has an energy barrier (GSCON) -- are $\mathsf{QMA}$-hard, $\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}[log]}$-hard and $\mathsf{QCMA}$-hard, respectively, meaning they are likely intractable even on a quantum computer. Yet while hardness for the Local Hamiltonian problem is known to hold even for translationally-invariant systems, it is not yet known whether APX-SIM and GSCON remain hard in such "simple" systems. In this work, we show that the translationally invariant versions of both APX-SIM and GSCON remain intractable, namely are $\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}_{\mathsf{EXP}}}$- and $\mathsf{QCMA}_{\mathsf{EXP}}$-complete, respectively. Each of these results is attained by giving a respective generic "lifting theorem" for producing hardness results. For APX-SIM, for example, we give a framework for "lifting" any abstract local circuit-to-Hamiltonian mapping $H$ (satisfying mild assumptions) to hardness of APX-SIM on the family of Hamiltonians produced by $H$, while preserving the structural and geometric properties of $H$ (e.g. translation invariance, geometry, locality, etc). Each result also leverages counterintuitive properties of our constructions: for APX-SIM, we "compress" the answers to polynomially many parallel queries to a QMA oracle into a single qubit. For GSCON, we give a hardness construction robust against highly non-local unitaries, i.e. even if the adversary acts on all but one qudit in the system in each step.

研究动机与目标

• 确定尽管结构简单，APX-SIM与GSCON在平移不变的量子系统中是否仍保持难以处理。
• 将已知的局部哈密顿量问题的困难性结果扩展到基态能量以外的其他低能性质。
• 开发通用框架——‘提升定理’——将电路到哈密顿量映射中的困难性传递到APX-SIM与GSCON，同时保持平移不变性与局域性等关键物理与几何约束。
• 证明即使在高对称性与低维系统中，量子复杂性依然存在，从而增强复杂性下界在物理上的相关性。

提出的方法

• 为APX-SIM引入一个‘提升引理’，将任何满足弱假设的局部电路到哈密顿量构造映射为一个保持平移不变性与局域性的PQMAEXP-难APX-SIM问题。
• 提出一种新机制，将多项式数量的并行QMA预言机查询压缩为单个量子比特，从而构建一个编码多个查询的低能子空间。
• 对于GSCON，构造了一个鲁棒的、平移不变的一维哈密顿量，其基态空间编码了一个历史态，其中包含一个‘逻辑保护’的目标开关子空间，确保对除每时间步一个量子比特外所有量子比特的对抗性操作具有鲁棒性。
• 使用改进的Gottesman-Irahy（GI）构造，并引入加法谱偏移，以在能谱中实现非平凡的承诺间隙，从而实现QCMAEXP-完全性。
• 对QCMAEXP验证者应用误差降低技术，以确保在谱偏移后承诺间隙仍足够大。
• 采用‘时空’时钟构造，以强制历史态的句法正确性，通过保持平移不变性的局部项施加能量惩罚。

实验结果

研究问题

• RQ1 在结构简单的平移不变一维量子系统中，APX-SIM是否仍为PQMAEXP-完全？
• RQ2 在高度非局域的对抗性操作下，是否可证明GSCON在平移不变的一维系统中为QCMAEXP-完全？
• RQ3 能否构建通用的提升定理，将电路到哈密顿量映射中的困难性传递到APX-SIM与GSCON，同时保持平移不变性与局域性？
• RQ4 在困难性提升过程中，哪些结构与几何约束可以被保留而不损害结果问题的复杂性？
• RQ5 是否存在一个统一框架，将局部哈密顿量问题的复杂性与APX-SIM和GSCON在不同复杂性类中的复杂性联系起来？

主要发现

• 平移不变的APX-SIM版本在1D系统中仍为PQMAEXP-完全，表明在高对称性下，对基态上局部测量的模拟依然难以处理。
• 平移不变的GSCON版本为QCMAEXP-完全，表明即使在对称、低维系统中，确定低能连通性路径依然是困难的。
• 作者构造了一个1D平移不变哈密顿量，其基态能量在YES情况下介于0与ϵ/N²之间，在NO情况下至少为(1−ϵ)/N²，经谱偏移后确保了非平凡的承诺间隙。
• APX-SIM的提升框架允许使用低维、平移不变的构造（例如来自[BCO17]的构造）来证明困难性，显著简化了先前的证明。
• 由于使用了‘逻辑保护’的目标开关子空间与时空时钟机制，GSCON的构造对除每时间步一个量子比特外所有量子比特的对抗性操作具有鲁棒性。
• 本文证明，通过在QCMAEXP验证者上应用误差降低，可在谱偏移后使承诺间隙保持非平凡，从而确保完备性与可靠性条件成立。