[论文解读] The computational landscape of permutation patterns

Marie-Louise Bruner, Martin Lackner|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 31被引用 14

一句话总结

本文通过将 NP-完全的独立集问题归约到 PPM，确立了排列模式匹配（PPM）的计算复杂度，证明 PPM 是 NP-完全的。它表明在图中寻找 k-团对应于将模式及其子模式同时匹配到文本排列中，表明 PPM 通过组合模式匹配捕捉了 NP 问题的全部复杂性。

ABSTRACT

In the last years, different types of patterns in permutations have been studied: vincular, bivincular and mesh patterns, just to name a few. Every type of permutation pattern naturally defines a corresponding computational problem: Given a pattern P and a permutation T (the text), is P contained in T? In this paper we draw a map of the computational landscape of permutation pattern matching with different types of patterns. We provide a classical complexity analysis and investigate the impact of the pattern length on the computational hardness. Furthermore, we highlight several directions in which the study of computational aspects of permutation patterns could evolve.

研究动机与目标

• 确定排列模式匹配（PPM）问题的计算复杂度。
• 通过将已知的 NP-完全问题归约到 PPM，研究 PPM 是否为 NP-完全。
• 在图团与排列中同时模式匹配之间建立对应关系。
• 通过模式与子模式匹配的形式化归约，从独立集问题到 PPM。
• 通过组合编码表明，求解 PPM 的难度与求解 NP-完全问题相当。

提出的方法

• 通过将图的顶点和边编码为排列，将独立集问题的一个实例归约为 PPM 的一个实例。
• 使用模式 P′ 及其子模式 ¯Pi 来表示图 G 中的顶点和边。
• 定义一个单调映射 μ: [k] → [l]，通过将 P′ 匹配到文本排列 T′ 来选择图中的 k 个顶点。
• 通过检查每个 ¯Pi 是否能匹配到 T′，验证所选顶点之间的所有边是否存在于 G 中。
• 采用图形表示法，其中模式和文本中匹配的元素对应于原图中的顶点和边。
• 使用 P′ 和所有 ¯Pi 同时匹配到 T′ 的存在性作为图中存在 k-团的充分必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 排列模式匹配（PPM）问题是否为 NP-完全？
• RQ2 独立集问题能否在多项式时间内归约到 PPM？
• RQ3 图团与排列中同时模式匹配之间存在何种关系？
• RQ4 若 P′ 和所有 ¯Pi 能够成功匹配到 T′，是否意味着原图中存在一个 k-团？
• RQ5 图中的每个 k-团是否都能编码为排列模式匹配实例中的同时匹配？

主要发现

• 通过从独立集问题的多项式时间归约，证明了排列模式匹配（PPM）问题是 NP-完全的。
• 当且仅当存在 P′ 到文本 T′ 以及所有子模式 ¯Pi 到对应子模式 T′j 的同时匹配时，图 G 中存在一个 k-团。
• 存在一个单调映射 μ: [k] → [l]，使得 P′ 能够匹配到 T′ 且所有 ¯Pi 能够匹配到 T′j，这恰好对应于在 G 中选择形成团的 k 个顶点。
• 若任一子模式 ¯Pi 无法匹配到 T′，则对应的边在 G 中缺失，意味着不存在大小为 k 的团。
• 以顶点 {v2, v3, v5} 为例，形成大小为三的团，通过将 P′ 的元素 1、2、3 分别匹配到 T′ 的位置 2、3、5 得到验证。
• 图 2 的图形表示说明了图中匹配的顶点与边，以及模式匹配过程之间的对应关系。