[论文解读] The cone conjecture for abelian varieties

Artie Prendergast-Smith|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文通过利用实自同态代数将尼龙-塞弗空间嵌入，并应用算术群的约化理论，完整证明了阿贝尔簇上的莫里森-川本锥猜想。关键结果是：任何阿贝尔簇的自同构群在有效 nef 锥上的作用具有一个有理多面体基本域，从而在该设定下证实了该猜想。

ABSTRACT

We give a proof of the Morrison--Kawamata cone conjecture for abelian varieties. The proof is a straightforward deduction from well-known results on the real endomorphism algebra of an abelian variety and reduction theory for self-dual homogeneous convex cones.

研究动机与目标

• 建立阿贝尔簇上的莫里森-川本锥猜想，该猜想预测自同构群在有效 nef 锥上的作用具有一个有理多面体基本域。
• 利用实自同态代数的结构，将尼龙-塞弗空间嵌入其中，并分析自同构群在 nef 锥上的作用。
• 证明有效 nef 锥与 ample 锥的有理包重合，从而可应用算术群的约化理论。
• 证明自同构群在尼龙-塞弗空间上的作用由 Q-算术子群实现，从而可应用已知的多面体基本域结果。

提出的方法

• 将尼龙-塞弗空间 $N^1(X)$ 嵌入实自同态代数 $\operatorname{End}^0(X) \otimes \mathbb{R}$，并将其识别为 Rosati 对合下的固定子空间。
• 通过共轭作用 $D \mapsto M^* D M$ 表示自同构群在 $N^1(X)$ 上的作用，其中 $M \in (\operatorname{End}^0(X) \otimes \mathbb{R})^\times$，该作用扩展了线丛上的拉回作用。
• 将 ample 锥 $A(X)$ 识别为 $\operatorname{End}^0(X) \otimes \mathbb{R}$ 中每个矩阵代数分量上的正定锥 $P_r(k)$ 的直和，确保其自对偶性与齐次性。
• 证明 ample 锥的恒同分支同构于映射 $D \mapsto M^* D M$ 的变换群，该群是 $GL(N^1(X))$ 中的 Q-代数子群。
• 证明 $\operatorname{Aut}(X)$ 在 $GL(N^1(X))$ 中的像为该 Q-代数群的算术子群，从而可应用约化理论。
• 应用约化理论中的定理 2.4 和 2.5，得出 $A(X)_+$（即 $\overline{A(X)}^e$）在自同构群作用下存在有理多面体基本域。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔簇的自同构群是否如莫里森-川本锥猜想所预测的那样，在有效 nef 锥上作用具有一个有理多面体基本域？
• RQ2 如何利用实自同态代数的结构来分析自同构群在阿贝尔簇的尼龙-塞弗空间上的作用？
• RQ3 ample 锥与有效 nef 锥在阿贝尔簇中存在何种精确关系？这一关系如何简化锥猜想？
• RQ4 是否可将算术群的约化理论应用于证明阿贝尔簇背景下有理多面体基本域的存在性？
• RQ5 在阿贝尔簇中，等式 $\overline{A(X)}^e = \overline{M(X)}^e = \operatorname{Eff}(X)$ 在多大程度上简化了完整的锥猜想？

主要发现

• 自同构群 $\operatorname{Aut}(X)$ 在有效 nef 锥 $\overline{A(X)}^e$ 上的作用具有一个有理多面体基本域，从而证实了定理 0.1。
• 尼龙-塞弗空间 $N^1(X)$ 同构于 $\operatorname{End}^0(X) \otimes \mathbb{R}$ 中 Rosati 对合的固定子空间，该空间可分解为对称矩阵或埃尔米特矩阵空间的直和。
• ample 锥 $A(X)$ 是每个矩阵代数分量中正定锥 $P_r(k)$ 的直和，因此是一个自对偶的齐次锥。
• $\operatorname{Aut}(X)$ 在 $N^1(X)$ 上的作用源于 $G(A(X))^0$ 中 Q-算术子群的像，从而可应用约化理论。
• ample 锥的有理包 $A(X)_+$ 等于 $\overline{A(X)}^e$，且该锥在 $\operatorname{Aut}(X)$ 作用下存在有理多面体基本域。
• 阿贝尔簇的完整锥猜想成立，因为 $\overline{A(X)}^e = \overline{M(X)}^e = \operatorname{Eff}(X)$，且猜想的第二部分可由第一部分推出。