[论文解读] The core entropy for polynomials of higher degree

Yan Gao, Giulio Tiozzo|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文建立了在 $d \geq 2$ 时，多项式核心熵作为组合数据（本原主向量）和多项式系数的函数时的连续变化。通过发展高次动力系统中的核心熵理论，并利用临界图象与本原主向量的收敛性证明连续性，作者证实了 W. Thurston 关于一般多项式设定下核心熵连续性的猜想。

ABSTRACT

As defined by W. Thurston, the core entropy of a polynomial is the entropy of the restriction to its Hubbard tree. For each d >= 2, we study the core entropy as a function on the parameter space of polynomials of degree d, and prove it varies continuously both as a function of the combinatorial data and of the coefficients of the polynomials. This generalizes a conjecture of Thurston for quadratic polynomials.

研究动机与目标

• 将核心熵理论从二次多项式扩展至任意次数 $d \geq 2$ 的多项式。
• 证明核心熵在参数空间 $\mathrm{PM}(d)$ 中关于本原主向量的组合数据连续变化。
• 在空间 $\mathcal{P}_d$ 中建立后临界有限多项式系数的核心熵连续性。
• 证实 W. Thurston 关于高次多项式动力系统中核心熵连续性的猜想。

提出的方法

• 将多项式的核心熵定义为其在 Hubbard 树上的限制的拓扑熵。
• 使用 $\mathrm{PM}(d)$ 空间作为本原主向量的组合参数空间，推广高次情形下类似 Mandelbrot 集边界的概念。
• 通过临界图象与射线动力学的收敛性，证明核心熵在 $\mathrm{PM}(d)$ 中有理本原主向量闭包上连续延拓。
• 利用临界标记的 Hausdorff 收敛性与诱导本原主向量的收敛性，建立熵值的连续性。
• 利用 Rouché 定理与射线收缩论证，追踪扰动下临界点及其动力行为的收敛性。
• 利用等式 $h(f) = h(m)$，其中 $m$ 是与 $f$ 相关的本原主向量，将连续性问题约化为 $\mathrm{PM}(d)$ 中主向量收敛性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于次数 $d \geq 2$ 的多项式，其核心熵是否关于其组合数据（即本原主向量）连续变化？
• RQ2 后临界有限多项式在 $\mathcal{P}_d$ 中的系数是否构成核心熵的连续函数？
• RQ3 核心熵是否可连续延拓至整个组合参数空间 $\mathrm{PM}(d)$，包括无理主向量？
• RQ4 扰动下临界图象与射线动力学的收敛性如何影响熵的连续性？
• RQ5 核心熵在多大程度上可作为理解高次多项式动力系统中连通性集分层结构的工具？

主要发现

• 核心熵函数 $h(m)$ 在整个 $d$ 次本原主向量空间 $\mathrm{PM}(d)$ 上连续延拓，证实了 Thurston 的猜想。
• 核心熵在 $\mathcal{P}_d$ 中后临界有限多项式的系数上连续变化，确立了在解析参数空间中的连续性。
• 临界图象 $\Theta_n$ 收敛于弱临界标记 $\Theta$ 意味着熵值收敛：当 $n \to \infty$ 时，$h(f_n) \to h(f)$。
• 熵 $h(f)$ 等于由多项式组合结构诱导的本原主向量 $m$ 的熵 $h(m)$。
• 在 $\mathrm{PM}(d)$ 中，本原主向量 $m_n \to m$ 的收敛性蕴含 $h(m_n) \to h(m)$，这足以证明核心熵的连续性。
• 证明依赖于射线动力学，以及扰动下外射线及其落地点的收敛性，确保极限下具有拓扑一致性。