[论文解读] The cyclic theory of Hopf algebroids

Niels Kowalzig, Hessel Posthuma|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过其模范畴与循环对偶性，为霍普夫胚群发展了一套系统的循环上同调与同调理论，建立了交换与余交换情形下的结构定理，并显式计算了李-里内哈特代数与埃莱特群胚的理论，其中恢复了已知结果，如范埃斯特同构及通过喷射代数实现的李代数上同调。

ABSTRACT

We give a systematic description of the cyclic cohomology theory of Hopf algebroids in terms of its associated category of modules. Then we introduce a dual cyclic homology theory by applying cyclic duality to the underlying cocyclic object. We derive general structure theorems for these theories in the special cases of commutative and cocommutative Hopf algebroids. Finally, we compute the cyclic theory in examples associated to Lie-Rinehart algebras and étale groupoids.

研究动机与目标

• 通过霍普夫胚群的模范畴建立其循环上同调的系统性框架。
• 通过在余循环对象上应用循环对偶性，引入对偶的循环同调理论。
• 为交换与余交换霍普夫胚群推导一般性结构定理。
• 在几何例子中计算循环理论，包括李-里内哈特代数与埃莱特群胚。
• 通过范埃斯特同构，将结果与已知不变量（如李代数上同调与群胚同调）关联起来。

提出的方法

• 通过霍普夫胚群模范畴关联的标准余循环对象构建霍普夫-循环上同调。
• 对底层余循环对象应用循环对偶性，以定义对偶的循环同调理论。
• 利用霍普夫-伽罗瓦映射，将循环对偶性与霍普夫胚群中的对合结构联系起来。
• 采用单纯复形与余单纯复形解析，描述霍普夫胚群背景下带系数的霍赫希尔德理论。
• 运用余不变量与不变量构造，将循环理论与几何不变量关联。
• 利用李-里内哈特代数的喷射空间构造，定义其关联的霍普夫胚群，并计算其循环同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过其模范畴系统地定义霍普夫胚群的循环上同调？
• RQ2 通过循环对偶性获得的对偶循环同调理论具有何种结构？
• RQ3 在交换与余交换情形下，循环理论如何简化？
• RQ4 埃莱特群胚的循环同调与其群胚同调之间存在何种关系？
• RQ5 李-里内哈特代数的循环理论如何通过喷射代数恢复李代数上同调？

主要发现

• 李-里内哈特代数的喷射代数的循环上同调同构于其底层李代数在平凡系数下的李代数上同调。
• 对于一个埃莱特群胚，其喷射代数的循环同调同构于群胚同调，推广了范埃斯特同构。
• 李代数丛在单位处的喷射代数的循环同调同构于相应李代数的李代数上同调。
• 仿射代数簇坐标环的循环上同调同构于其代数德拉姆上同调群的乘积。
• 与李群胚相关的霍普夫胚群的对偶循环同调恢复了该群胚的微分上同调。
• 通过喷射空间从李代数丛构造霍普夫胚群，为非交换几何中循环不变量的计算提供了统一框架。