[论文解读] The de Rham realization of the elliptic polylogarithm in families

René Achim Scheider|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文利用对 Abel 簧上的对数层与 D-模，构建了椭圆多对数在族中的 de Rham 实现，证明了 D-变体多对数的显式解析表征，其以 Eisenstein 系数与 Siegel 单位表示。关键结果通过扭截面的专门化，将 de Rham Eisenstein 类与模形式联系起来，从而为这些类提供了动机论与上同调论的解释，涉及模形式与 Kodaira-Spencer 映射。

ABSTRACT

This thesis establishes a geometric approach to the de Rham realization of the polylogarithm. As a central result we construct the logarithm sheaves of rational abelian schemes in terms of the birigidified Poincaré bundle with universal integrable connection on the product of the abelian scheme and the universal vectorial extension of its dual. This is achieved essentially by restricting the mentioned data of the Poincaré bundle along the infinitesimal neighborhoods of the zero section of the universal extension. We also clarify how these constructions naturally express within the language of the Fourier-Mukai transformation for $\mathcal D$-modules on abelian schemes. Our geometric perspective moreover permits an interpretation of fundamental formal properties of the logarithm sheaves within the standard theory of the Poincaré bundle. For a relative elliptic curve we additionally present a related viewpoint on the first logarithm extension via $1$-motives. Having developed in detail the outlined geometric understanding of the logarithm sheaves, we then exploit it systematically for an investigation of the polylogarithm for the universal family of elliptic curves with level $N$ structure. A main theorem of the work gives an explicit analytic description for a variant of the small elliptic polylogarithm via the coefficient functions appearing in the Laurent expansion of a meromorphic Jacobi form defined by Kronecker in the 19th century. Furthermore, using the previous result, we determine the specialization of the modified polylogarithm along torsion sections concretely in terms of certain algebraic Eisenstein series. From this we regain in particular the known expressions of the de Rham Eisenstein classes by algebraic modular forms.

研究动机与目标

• 在 Abel 簧上，特别是通用椭圆曲线族中，构建椭圆多对数的 de Rham 实现。
• 利用对数层与幂零 D-模，建立多对数 D-变体的动机论与上同调论解释。
• 显式描述 D-变体沿扭截面的专门化，其以 Eisenstein 系数与 Siegel 单位表示。
• 通过 Kodaira-Spencer 同构与 Poincaré 对偶性，将所得上同调类与模形式关联。
• 利用 Fourier-Mukai 变换与亚纯 Jacobi 形式，对多对数及其 D-变体提供完整的解析表征。

提出的方法

• 将对数层构造为 Abel 簧上 de Rham 上同调层的普遍幂零扩张。
• 在通用向量性扩张上应用 Fourier-Mukai 变换，将对数层与 Poincaré 线丛关联。
• 运用 D-模与可积联络理论，定义并分析多对数的 D-变体。
• 利用亚纯 Jacobi 形式与 Eisenstein 系数，描述对数层的解析结构。
• 应用解析化函子，将代数 de Rham 上同调与通用椭圆曲线上的解析对象关联。
• 使用收缩映射与 Poincaré 对偶性，从多对数定义并计算 de Rham Eisenstein 类。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆多对数如何在 Abel 簧族的 de Rham 上同调中实现？
• RQ2 在通用椭圆曲线上，多对数 D-变体的显式解析描述为何？
• RQ3 D-变体沿扭截面的专门化如何与模形式及 Eisenstein 系数关联？
• RQ4 第一个对数扩张类的动机论解释为何，其与 1-动机及 de Rham-Manin 映射的关系为何？
• RQ5 de Rham Eisenstein 类如何显式计算，并与 Siegel 单位及模形式关联？

主要发现

• D-变体的多对数沿扭截面专门化为上同调类，其显式由 Eisenstein 系数与模形式描述。
• 当 D ≡ 1 mod N 时，第 n 个 de Rham Eisenstein 类 Eisn(ta,b) 由 Eisn(ta,b) = −N^{n−1} (−1)^n / n! · F^{(n+2)}(a/N, b/N) 给出，属于 H^1_dR(S/Q, Sym^n H^1)，其中 F^{(n+2)} 为与 Eisenstein 系数相关的模形式。
• 当度数为 0 时，专门化 Eis0(ta,b) 等于 −N^{−1} dlog(g(a/N, b/N))，属于 H^1_dR(S/Q)，其中 g(a/N, b/N) 为 Siegel 单位。
• D-变体在度数 n 时与 de Rham Eisenstein 类的关系由公式 t^*_{a,b}(pol^n_D) = −N^{1−n} (D^2 Eis^n(ta,b) − D^{−n} Eis^n(t_{Da,Db})) 给出。
• 通过对数层的解析表征通过一个交换图建立，涉及解析化与基本亚纯 Jacobi 形式。
• 动机论 de Rham-Manin 映射将第一个对数扩张类与模形式 F^{(2)}(a/N, b/N) 在映射 (3.8.38) 下的像关联，从而与 Kodaira-Spencer 类联系。