[论文解读] The Dirichlet problem for degenerate complex Monge-Ampere equations

D. H. Phong, Jacob Sturm|ArXiv.org|Apr 13, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 18

一句话总结

该论文在紧致基灵流形带边的情况下，针对共形类非负且相对于除子满足某种正则性条件的退化复蒙日-安培方程，建立了 $C^{1,\beta}$ 正则性估计。关键结果是为每个检验配置在基灵势空间中构造了 $C^{1,\beta}$ 测地线射线，从而填补了退化情形下的正则性空白。

ABSTRACT

The Dirichlet problem for a Monge-Ampere equation corresponding to a nonnegative, possible degenerate cohomology class on a Kaehler manifold with boundary is studied. C^{1,α} estimates away from a divisor are obtained, by combining techniques of Blocki, Tsuji, Yau, and pluripotential theory. In particular, C^{1,α} geodesic rays in the space of Kaehler potentials are constructed for each test configuration

研究动机与目标

• 解决当基础共形类退化时，基灵势空间中测地线射线的正则性问题。
• 将先前关于退化复蒙日-安培方程狄利克雷问题的结果，从严格正定情形推广至更一般情形。
• 利用全纯势论与先验估计方法，特别在检验配置背景下，构造 $C^{1,\beta}$ 测地线射线。
• 证明即使共形类非负但不严格正定，蒙日-安培方程的解在远离除子处仍保持正则性。

提出的方法

• 结合 Blocki、Tsuji、Yau 与全纯势论的技术，推导退化蒙日-安培方程的 $C^{1,\beta}$ 估计。
• 施加一个关键条件：$ abla_0 - \beta[E] > 0$，其中 $\beta > 0$，且 $E$ 为与边界不相交的有效除子。
• 在检验配置的紧化全空间 $ ilde{\frak X}_D$ 上，利用一个正线丛上的度量构造一个非退化的形式 $ ilde{\nabla}$。
• 在 $ abla_0 - \beta[E]$ 为基灵类的条件下，对 $ ilde{\frak X}_D$ 上的狄利克雷问题应用定理 2（先验估计），边界条件为零。
• 通过旋转不变度量与曲率构造，确保存在一个严格正的形 $ abla_\beta$，满足所需的正则性条件。
• 依赖 Donaldson 嵌入定理与亚纯截面，定义中心纤维上的除子 $E$，使得 $ abla_0 - \beta[E]$ 成为一个基灵类。

实验结果

研究问题

• RQ1 当共形类非负时，能否在带边的基灵流形上为退化复蒙日-安培方程的解建立 $C^{1,\beta}$ 正则性？
• RQ2 在退化共形类情形下，基灵势空间中测地线射线的存在性是否仍然成立，特别是在检验配置背景下？
• RQ3 能否将先验估计与全纯势论的方法扩展至 $ abla_0$ 仅为半正定的情形？
• RQ4 能否构造一个基灵形式 $ abla_\beta$，使得对某个有效除子 $E$，有 $ abla_0 - \beta[E]$ 为基灵类？
• RQ5 当初始数据在 $w=0$ 处未完全指定时，如何在广义意义下求解测地线射程方程？

主要发现

• 论文在远离除子 $E$ 的区域，为退化复蒙日-安培方程的解建立了 $C^{1,\beta}$ 正则性估计。
• 在紧化全空间 $ ilde{\frak X}_D$ 上构造了一个解 $ ilde{\nabla}$，使得对某个 $eta > 0$，有 $ ilde{\nabla}_0 - \beta[E]$ 为基灵形式。
• 证明了对每个检验配置，基灵势空间中均存在 $C^{1,\beta}$ 测地线射线，将先前结果推广至退化情形。
• 该构造依赖于 $p^*{\frak L}^m$ 上的一个度量 $H_0$，其曲率为 $ ilde{\nabla}_0 \neq 0$，且在纤维上旋转不变且正定。
• 关键技术步骤是构造一个度量 $H$，使得 $\tilde{\nabla}_0 - \beta[E] = \nabla_\beta - \beta \frac{i}{2} \bar{\nabla} \text{log} \norm{\text{sec}}^2$，其中 $\text{sec}$ 是 $O(E)$ 的典范截面。
• 结果确认了在退化共形类条件下，基灵势空间中广义测地线射线的存在性，支持了 Donaldson 的稳定性猜想。