[论文解读] The distance-k dimension of graphs

Jesse Geneson, Eunjeong Yi|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2021

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文引入并分析了图的距-k维，这是度量维数的一种推广，其中机器人的地标探测范围被限制在距离k以内。本文建立了通用界，刻画了具有高距-k维的图（例如n-2或n-1），确定了路径和环的维数，并研究了顶点和边删除的影响——表明当k≥2时，距-k维可任意增加或减少，而k=1时则不然。主要贡献在于对这一广义分辨参数进行了全面的结构与定量分析。

ABSTRACT

The metric dimension, $\dim(G)$, of a graph $G$ is a graph parameter motivated by robot navigation that has been studied extensively. Let $G$ be a graph with vertex set $V(G)$, and let $d(x,y)$ denote the length of a shortest $x-y$ path in $G$. For a positive integer $k$ and for distinct $x,y \in V(G)$, let $d_k(x,y)=\min\{d(x,y), k+1\}$ and let $R_k\{x,y\}=\{z\in V(G): d_k(x,z) eq d_k(y,z)\}$. A subset $S\subseteq V(G)$ is a distance-$k$ resolving set of $G$ if $|S \cap R_k\{x,y\}| \ge 1$ for any pair of distinct $x,y \in V(G)$, and the distance-$k$ dimension, $\dim_k(G)$, of $G$ is the minimum cardinality over all distance-$k$ resolving sets of $G$. In this paper, we study the distance-$k$ dimension of graphs. We obtain some general bounds for distance-$k$ dimension. For all $k \ge 1$, we characterize connected graphs $G$ of order $n$ with $\dim_k(G) \ge n-2$. We determine $\dim_k(G)$ when $G$ is a cycle or a path. We also examine the effect of vertex or edge deletion on the distance-$k$ dimension of graphs.

研究动机与目标

• 将距-k维形式化并作为度量维数的推广进行研究，其中地标探测范围被限制在距离k以内。
• 为图的距-k维建立通用的上界和下界。
• 刻画所有阶为n且满足dim_k(G) = n-2或n-1（对任意k≥1）的连通图G。
• 确定特定图类（包括路径和环）的dim_k(G)。
• 分析距-k维对顶点和边删除的敏感性，特别是当k≥2时。

提出的方法

• 定义d_k(x,y) = min{d(x,y), k+1}以模拟有限范围的距离感知。
• 定义距-k分辨集S为满足对所有不同的x,y有|S ∩ R_k{x,y}| ≥ 1的集合，其中R_k{x,y} = {z : d_k(x,z) ≠ d_k(y,z)}。
• 使用距-k度量码r_{k,S}(v) = (d_k(v,u_1), …, d_k(v,u_β))来表示相对于集合S的顶点位置。
• 应用图论结构和孪生顶点分析（观察2.1(b)）推导距-k分辨集大小的下界。
• 通过构造显式例子并使用极值构造（例如图3和图4）来证明界的紧致性以及维数的无界变化。
• 通过对测地线和边移除进行案例分析，证明dim_k(G-e)和dim_k(G-v)的界，特别是表明当k≥2时，dim_k(G) - dim_k(G-e)可任意大。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的距-k维的通用上界和下界是什么？
• RQ2 对于哪些阶为n的连通图G，有dim_k(G) = n-2或n-1（对任意k≥1）？
• RQ3 距-k维在路径和环等标准图族中如何表现？
• RQ4 在删除一个顶点或一条边后，距-k维如何变化，特别是当k≥2时？
• RQ5 当k≥2时，差值dim_k(G) - dim_k(G-e)是否可任意大？如果是，在何种结构条件下？

主要发现

• 具有dim_d(G) = k的图G的最大可能阶受到一个涉及d和k的复杂表达式的限制，表明此类图的极值大小。
• 对所有k≥1，本文完全刻画了阶n≥4且满足dim_k(G) = n-2或n-1的连通图G，解决了k=1时的开放问题。
• 对所有k≥1，路径P_n和环C_n的距-k维被显式确定，为这些基本图类提供了精确值。
• 当k≥2时，差值dim_k(G) - dim_k(G-e)可任意大，通过构造示例表明dim_k(G) - dim_k(G-e) = a-1且a→∞，与k=1时差值至多为1的情况形成鲜明对比。
• 当k≥3时，有dim_k(G-e) ≤ dim_k(G) + 2，且当k=2时，有dim_2(G-e) ≤ dim_2(G) + 1，且通过显式构造证明了这两个界均为紧致。
• 当k≥2时，dim_k(G-v) - dim_k(G)同样可任意大，表明距-k维对顶点删除具有高度敏感性。