[论文解读] The distribution of the variance of primes in arithmetic progressions

Daniel Fiorilli|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出，在广义黎曼猜想（GRH）和L-函数零点线性无关性假设下，Hooley猜想 $ V(x;q) \sim x\log q $ 对所有 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 成立，扩展了在GRH下已知的范围。通过将 $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 建模为一个具有均值 $ \phi(q)\log q $ 和方差 $ 2\phi(q)(\log q)^2 $ 的随机变量，该模型表明该方差行为类似于正态分布，预测其渐近行为可下探至 $ q = (\log\log x)^{1+\delta} $，此范围为最优。

ABSTRACT

Hooley conjectured that the variance V(x;q) of the distribution of primes up to x in the arithmetic progressions modulo q is asymptotically x log q, in some unspecified range of q\\leq x. On average over 1\\leq q \\leq Q, this conjecture is known unconditionally in the range x/(log x)^A \\leq Q \\leq x; this last range can be improved to x^{\\frac 12+\\epsilon} \\leq Q \\leq x under the Generalized Riemann Hypothesis (GRH). We argue that Hooley's conjecture should hold down to (loglog x)^{1+o(1)} \\leq q \\leq x for all values of q, and that this range is best possible. We show under GRH and a linear independence hypothesis on the zeros of Dirichlet L-functions that for moderate values of q, \\phi(q)e^{-y}V(e^y;q) has the same distribution as that of a certain random variable of mean asymptotically \\phi(q) log q and of variance asymptotically 2\\phi(q)(log q)^2. Our estimates on the large deviations of this random variable allow us to predict the range of validity of Hooley's Conjecture.

研究动机与目标

• 确定Hooley猜想 $ V(x;q) \sim x\log q $ 成立的最优 $ q $ 范围。
• 将目前关于 $ V(x;q) $ 平均值的渐近结果扩展至更小的 $ q $ 值，超越当前的条件与无条件界限。
• 研究 $ V(x;q) $ 在单个 $ q $ 上的分布，特别是当 $ q \leq x^{1/2} $ 时，此时尚无渐近结果。
• 为推测的下界 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 提供概率论上的解释，表明该范围为最优。
• 通过大偏差估计研究 $ V(x;q) $ 行为的转变，特别是在 $ q \sim \log\log x $ 附近，当 $ q $ 减小时。

提出的方法

• 在GRH和Dirichlet L-函数零点线性无关性假设下，将 $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 建模为一个随机变量。
• 利用向量 $ (e^{i\gamma_1 y}, \dots, e^{i\gamma_k y}) $ 的极限分布分析等分布性，并推导 $ V(x;q) $ 的分布。
• 对随机变量 $ H_q $（即 $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 的归一化版本）应用大偏差估计，以预测 $ V(x;q) \sim x\log q $ 成立的范围。
• 推导 $ H_q $ 的渐近均值 $ \phi(q)\log q $ 和方差 $ 2\phi(q)(\log q)^2 $，表明其收敛于类似正态的分布。
• 利用 $ H_q $ 的尾部行为，估计满足 $ |e^{-y}V(e^y;q) - \log q| \neq o(\log q) $ 的最小 $ y $，从而预测 $ y \approx \exp(c\phi(q)) $。
• 将预测行为与已知界限进行比较：对固定的 $ q $，有 $ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $，表明在 $ q = (\log\log x)^{1+\delta} $ 附近存在转变。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hooley猜想 $ V(x;q) \sim x\log q $ 是否可扩展至 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $，且该范围是否最优？
• RQ2 在GRH和L-函数零点线性无关性假设下，$ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 的概率分布为何？
• RQ3 随机变量 $ H_q $ 的大偏差如何揭示 $ V(x;q) \sim x\log q $ 的有效范围？
• RQ4 当 $ q $ 从 $ x^{o(1)} $ 减小至固定值时，$ V(x;q) $ 的大小发生了何种转变？
• RQ5 能否调和固定 $ q $ 时已知的上界 $ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $ 与 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 范围内的渐近行为 $ V(x;q) \sim x\log q $ ？

主要发现

• 在GRH和线性无关性假设下，$ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 具有极限分布，其渐近均值为 $ \phi(q)\log q $，渐近方差为 $ 2\phi(q)(\log q)^2 $。
• 当 $ \epsilon \asymp 1 $ 时，$ H_q $ 的最大偏差出现，表明在 $ q \sim \log\log x $ 附近 $ V(x;q) $ 的行为发生相变。
• 预测 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 为 $ V(x;q) \sim x\log q $ 成立的最优范围，因为仅在此范围内有 $ e^{-y}V(e^y;q) \sim \log q $。
• 当 $ q \leq (\log\log x)^{1-\delta} $ 时，渐近式 $ V(x;q) \sim x\log q $ 预期将不成立，表明存在一个尖锐的阈值。
• 对固定的 $ q $，$ e^{-y}V(e^y;q) $ 的极限分布具有双指数衰减的尾部，从而导出 $ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $ 的界。
• 对于 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $，有估计式 $ V(x;q) = x\mathcal{L}(q)\left(1 + O\left(\Psi(x)\sqrt{\frac{\log\log x}{\phi(q)}}\right)\right) $ 成立，其中 $ \mathcal{L}(q) = \log q - \gamma - \log(2\pi) - \sum_{p\mid q}\frac{\log p}{p-1} $，且 $ \Psi(x) \to \infty $。