[论文解读] The Dual Polynomial of Bipartite Perfect Matching

Gal Beniamini|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 2

一句话总结

本文将二分图完美匹配问题的布尔对偶函数表征为一个多元实多项式，表明其单项式数量和系数大小均不超过 O(n log n) 的指数级。因此，该研究建立了匹配函数近似度的新上界 O(n^{1.5} √log n)，优于以往的上界，并限制了多项式方法在进一步提升量子查询复杂度下界方面的潜力。

ABSTRACT

We obtain a description of the Boolean dual function of the Bipartite Perfect Matching decision problem, as a multilinear polynomial over the Reals. We show that in this polynomial, both the number of monomials and the magnitude of their coefficients are at most exponential in $\mathcal{O}(n \log n)$. As an application, we obtain a new upper bound of $\mathcal{O}(n^{1.5} \sqrt{\log n})$ on the approximate degree of the bipartite perfect matching function, improving the previous best known bound of $\mathcal{O}(n^{1.75})$. We deduce that, beyond a $\mathcal{O}(\sqrt{\log n})$ factor, the polynomial method cannot be used to improve the lower bound on the bounded-error quantum query complexity of bipartite perfect matching.

研究动机与目标

• 将二分图完美匹配判定问题的对偶函数表征为实数域上的多元多项式。
• 界定该对偶多项式中单项式的数量及其系数的绝对值大小。
• 推导出二分图完美匹配函数近似度的改进上界。
• 评估多项式方法在证明完美匹配问题有界误差量子查询复杂度更强下界方面的局限性。

提出的方法

• 将二分图完美匹配问题的对偶函数表示为实数域上的多元多项式。
• 分析该多项式的结构，以界定其单项式数量和各项系数的绝对值大小。
• 利用上述界定推导出匹配函数近似度的新上界。
• 将近似度上界应用于推断多项式方法在量子查询复杂度下界研究中的局限性。
• 利用近似度与量子查询复杂度之间已知的关联关系，约束未来下界改进的可能范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 二分图完美匹配判定问题在实数域上的对偶多项式具有何种结构？
• RQ2 该对偶多项式包含多少个单项式？其系数的最大绝对值为多大？
• RQ3 能否利用对偶多项式的性质推导出匹配函数近似度的更紧上界？
• RQ4 该新近似度上界在多大程度上限制了多项式方法在改进完美匹配问题量子查询复杂度下界方面的适用性？

主要发现

• 二分图完美匹配的对偶多项式中，单项式数量最多为 O(n log n) 的指数级。
• 对偶多项式的系数在绝对值上被限制为 O(n log n) 的指数级。
• 二分图完美匹配函数的近似度至多为 O(n^{1.5} √log n)。
• 该新上界优于此前已知的最佳上界 O(n^{1.75})。
• 该结果表明，至多相差一个 √log n 因子，多项式方法无法为完美匹配的有界误差量子查询复杂度提供更强的下界。