[论文解读] The duality of computation under focus

Pierre-Louis Curien, Guillaume Munch-Maccagnoni|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文通过Curien-Herbelin的句法工具包，建立了带控制的lambda演算的抽象机器与经典自然演绎演算之间的深层联系，统一了计算对偶性与证明搜索。提出了一个合流的、焦点化的演算L_foc，以及一个基于模式与反模式的综合系统L_synth，证明了其相对于LK的完备性，并表明交换性剪切消去规则对应于显式代入传播。

ABSTRACT

We review the close relationship between abstract machines for (call-by-name or call-by-value) lambda-calculi (extended with Felleisen's C) and sequent calculus, reintroducing on the way Curien-Herbelin's syntactic kit expressing the duality of computation. We use this kit to provide a term language for a presentation of LK (with conjunction, disjunction, and negation), and to transcribe cut elimination as (non confluent) rewriting. A key slogan here, which may appear here in print for the first time, is that commutative cut elimination rules are explicit substitution propagation rules. We then describe the focalised proof search discipline (in the classical setting), and narrow down the language and the rewriting rules to a confluent calculus (a variant of the second author's focalising system L). We then define a game of patterns and counterpatterns, leading us to a fully focalised finitary syntax for a synthetic presentation of classical logic, that provides a quotient on (focalised) proofs, abstracting out the order of decomposition of negative connectives.

研究动机与目标

• 统一计算对偶性（应用顺序 vs 值序）与经典逻辑中的证明理论结构。
• 形式化抽象机器状态与自然演绎演算规则之间的对应关系，特别是剪切消去与交换性规则。
• 开发一个合流的、焦点化的演算L_foc，以捕捉经典逻辑的剪切自由、焦点化证明。
• 引入一个基于模式与反模式的综合系统L_synth，抽象化负连接词分解的顺序。
• 证明L_foc相对于标准LK的完备性，以及L_synth相对于L_foc的完备性。

提出的方法

• 使用Curien-Herbelin的句法工具包表达计算对偶性，实现类型项与LK中证明树之间的一一对应。
• 引入一个LK的项语言，采用非对称的合取与析取呈现方式，以预示焦点化。
• 将剪切消去转写为非合流的重写系统，识别出交换性剪切规则即为显式代入传播规则。
• 应用焦点化规则，将语言与重写规则缩小为一个合流系统，得到Munch-Maccagnoni的L_foc的一个变体。
• 通过定义模式与反模式的游戏来构建综合系统L_synth，其中证明被对负连接词分解顺序取商。
• 结合显式代入（t[v/x]）与代入传播规则，以建模交换性剪切消去步骤。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地关联带控制的lambda演算的抽象机器与自然演绎演算？
• RQ2 交换性剪切消去规则与显式代入传播规则之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 能否从经典逻辑的证明搜索规则中推导出一个合流的、焦点化的演算？
• RQ4 如何定义一个综合连接词系统，使其抽象化负连接词分解的顺序？
• RQ5 L_foc与L_synth相对于标准LK及彼此前的完备性如何？

主要发现

• 本文确立了LK中交换性剪切消去规则与项语言中显式代入传播规则之间的等价性。
• 焦点化系统L_foc是合流的，其规范形精确对应于LK中的剪切自由、焦点化证明。
• 综合系统L_synth为焦点化证明提供了商化语法，抽象掉了负连接词分解的顺序。
• 证明了L_foc相对于LK的完备性：每个LK可证明的序列式在L_foc中都有对应项。
• 建立了L_synth相对于L_foc的完备性：L_foc中的每个项都对应于L_synth中的唯一一项。
• 证明了系统L_synth是经典逻辑的一种综合表达，类似于Girard的 ludics 与 Zeilberger 的 CU，通过模式与反模式的游戏实现。