[论文解读] The Dynamics of Rabinovich system

Oana Chi, Mircea Puta|ArXiv.org|Oct 24, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通過哈密頓-泊松結構、度量李括號形式以及引入分佈時滞和分數階導數（Caputo型）的擴展，研究了Rabinovich系統的動力學。建立了三重哈密頓表示，識別了卡西米爾不變量，分析了穩定性及週期性與異宿軌道，並透過Adams-Bashforth-Moulton預測-校正法推導出分數階系統的數值解，展示了不同分數階α下的混沌行為與穩定性轉變。

ABSTRACT

The paper presents some dynamical aspects of Rabinovich type, with distributed delay and with fractional derivatives.

研究动机与目标

• 使用哈密頓-泊松與三重哈密頓形式，研究經典Rabinovich系統的全局與局部動力學性質。
• 將系統擴展以包含分佈時滞與分數階導數（Caputo型），以模擬複雜動力學。
• 分析靜態點的穩定性與週期性及異宿軌道的存在性。
• 開發用於求解帶時滞的分數階Rabinovich系統的數值方法。
• 探討系統的第一類與第二類度量李括號結構。

提出的方法

• 推導Rabinovich系統的三種不同泊松結構（P¹, P², P³）及廣義線性組合（P¹²³ᵃᵇᶜ），每種結構對應相應的哈密頓量。
• 應用代數技術（Bermejo-Fairen）計算每種泊松結構的卡西米爾不變量。
• 使用線性穩定性分析與譜方法，將靜態點（e1ᵐ, e2ᵐ, e3ᵐ）分類為譜穩定或非線性穩定。
• 利用雙曲函數構造e2ᵐ與e2⁻ᵐ之間的異宿軌道，其在平面x₃ = ±x₁上成立。
• 通過反對稱泊松張量P與對稱度量張量g引入度量李括號結構，從而導出耗散動力學。
• 利用Caputo分數階導數與Grünwald-Letnikov權重，透過Adams-Bashforth-Moulton預測-校正方案實現分數階Rabinovich系統的數值積分。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rabinovich系統的三重哈密頓表示為何？它們與其泊松結構之間的關係是什麼？
• RQ2 不同泊松結構下存在的卡西米爾不變量有哪些？它們對系統不變量有何含義？
• RQ3 靜態點e1ᵐ、e2ᵐ與e3ᵐ的穩定性特性如何隨參數m變化？
• RQ4 Rabinovich系統中週期軌道與異宿軌道存在的條件是什麼？
• RQ5 分佈時滞與分數階導數如何改變Rabinovich系統的動力學？可採用哪些數值方法求解其對應方程？

主要发现

• Rabinovich系統具有三種不同的哈密頓-泊松實現，對應泊松矩陣P¹、P²、P³及相應哈密頓量h₁、h₂、h₃。
• 每種泊松結構下僅存在一個函數獨立的卡西米爾不變量：c₁ = ½(x₂² + x₃²)，c₂ = x₁² + x₂²，c₃ = x₁² + x₂²，以及一般P¹²³ᵃᵇᶜ結構下的cαβγ。
• 靜態點e₁ᵐ與e₃ᵐ為譜穩定與非線性穩定，而e₂ᵐ不穩定，特徵值表明當m ≠ 0時存在不穩定性。
• e₂ᵐ與e₂⁻ᵐ之間存在異宿軌道，表達式為x₁(t) = ±m sech(mt)，x₂(t) = ±m tgh(mt)，x₃(t) = ±m sech(mt)，且位於平面x₃ = ±x₁上。
• 在e₁ᵐ附近存在週期解，週期約為π/|m|（當m ≠ 0時）。
• 利用Caputo導數與時滞項推導出分數階系統（5.9）與（5.10），其特徵方程包含λ^α與τ的指數項。