[论文解读] The Embedded Homology of Hypergraphs and Applications

Stéphane Bressan, J. Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文引入了超图的嵌入同调，推广了单纯复形同调，并为超图序列开发了持久嵌入同调。它建立了嵌入同调的Mayer-Vietoris序列，并应用该框架定义了用于超网络数据分析的拓扑指标——超网络差异指数与相关性指数。

ABSTRACT

Hypergraphs are mathematical models for many problems in data sciences. In recent decades, the topological properties of hypergraphs have been studied and various kinds of (co)homologies have been constructed (cf. [3, 4, 12]). In this paper, generalising the usual homology of simplicial complexes, we define the embedded homology of hypergraphs as well as the persistent embedded homology of sequences of hypergraphs. As a generalisation of the Mayer-Vietoris sequence for the homology of simplicial complexes, we give a Mayer-Vietoris sequence for the embedded homology of hypergraphs. Moreover, as applications of the embedded homology, we study acyclic hypergraphs and construct some indices for the data analysis of hyper-networks.

研究动机与目标

• 通过嵌入同调构造将单纯复形同调推广至超图。
• 为超图序列定义持久嵌入同调，将持久同调扩展至超图设置。
• 为嵌入同调建立Mayer-Vietoris序列，推广经典单纯复形版本。
• 利用关联单纯复形与嵌入同调表征无环超图。
• 构建用于超网络数据分析的拓扑指标——差异指数与相关性指数。

提出的方法

• 通过Parks与Lipscomb（1991）提出的关联单纯复形，将超图嵌入单纯复形，定义超图的嵌入同调。
• 通过基于阈值过滤超边并追踪同调演化，构建超图序列的持久嵌入同调。
• 通过将超图分解为子超图，将Mayer-Vietoris序列推广至嵌入同调，关联其同调群。
• 使用$L^2$-范数与拟合度，比较同调条形码，定义超图上函数间的拟合度量。
• 基于阈值下同调维数的变化，定义超网络差异指数，作为社会或属性变异性的度量。
• 通过联合阈值下两个函数的二维条形码比较，使用期望拟合度与随机化对照，定义超网络相关性指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保持拓扑结构的方式，将单纯复形同调推广至超图？
• RQ2 能否为超图的嵌入同调构造类似经典单纯复形版本的Mayer-Vietoris序列？
• RQ3 如何利用嵌入同调的拓扑不变量表征无环超图？
• RQ4 可以从嵌入同调中导出哪些拓扑指标，用于超网络中的数据分析？
• RQ5 如何利用持久同调与条形码比较，量化超图上两个顶点函数之间的相关性？

主要发现

• 当超图本身为单纯复形时，其嵌入同调与标准同调一致。
• 为嵌入同调建立了Mayer-Vietoris序列，使得基于分解的超图同调计算成为可能。
• 随着阈值数量的增加，超图序列的持久嵌入同调趋于稳定，这是由于顶点集的有限性所致。
• 超网络差异指数$\text{Diff}(\varphi,\mathcal{H})$量化了社会分化或流动性，值减小表示分化减少。
• 超网络相关性指数$\text{Corr}(\varphi,\psi,\mathcal{H})$衡量两个顶点函数之间的相关性，值增大表示在超边结构下相关性增强。
• 相关性指数为介于0与1之间的实数，由二维条形码函数与其随机化期望之间的拟合度得分的加权和导出。