[论文解读] Arthur Parameters and Cuspidal Automorphic Modules of Classical Groups

Dihua Jiang, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 51被引用 15

一句话总结

本文在广义全局Arthur参数假设下，通过Bessel周期与扭曲自守下降，形式化构造了经典群的余离散自守表示的显式自守模。该研究在完全一般性下证明了全局Gan-Gross-Prasad猜想的一个方向，并在全局假设下证明了另一方向，借助高级迹公式技术和L-函数理论。

ABSTRACT

The endoscopic classification via the stable trace formula comparison provides certain character relations between irreducible cuspidal automorphic representations of classical groups and their global Arthur parameters, which are certain automorphic representations of general linear groups. It is a question of J. Arthur and W. Schmid that asks: How to construct concrete modules for irreducible cuspidal automorphic representations of classical groups in term of their global Arthur parameters? In this paper, we formulate a general construction of concrete modules, using Bessel periods, for cuspidal automorphic representations of classical groups with generic global Arthur parameters. Then we establish the theory for orthogonal and unitary groups, based on certain well-expected conjectures. Among the consequences of the theory in this paper is that the global Gan-Gross-Prasad conjecture for those classical groups is proved in full generality in one direction and with a global assumption in the other direction.

研究动机与目标

• 解决Arthur与Schmid提出的问题：为经典群的不可约余离散自守表示显式构造模。
• 将自守下降方法从F-拟分裂经典群推广至一般经典群。
• 基于广义全局Arthur参数，建立使用Bessel周期的显式模理论。
• 在完全一般性下证明全局Gan-Gross-Prasad猜想的一个方向，并在全局假设下证明另一方向。
• 提供一个构造性框架，通过zeta积分与下降方法，将全局Arthur参数与自守表示联系起来。

提出的方法

• 引入扭曲自守下降，作为Ginzburg-Rallis-Soudry方法在非拟分裂经典群上的推广。
• 利用Bessel周期构造表示张量积L-函数的全局zeta积分。
• 应用稳定迹公式比较与内插分类，将Arthur参数与自守表示关联。
• 通过全局zeta积分的Euler积分解，分析局部L-因子与非零条件。
• 通过局部zeta积分的归一化与对合算子的分析，建立Bessel周期的互逆非零性。
• 依赖于某些猜想性结果（如猜想2.3），并将先前关于L-函数与对合算子的研究扩展至当前设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从其全局Arthur参数显式构造经典群余离散自守表示的自守模？
• RQ2 在Bessel周期背景下，扭曲自守下降的非零性需满足何种条件？
• RQ3 在广义Arthur参数假设下，全局Gan-Gross-Prasad猜想在经典群上在何种程度成立？
• RQ4 在Bessel周期背景下，对温良、广义与酉表示，局部对合算子的行为如何？
• RQ5 全局zeta积分理论能否推广至具有广义Arthur参数的非拟分裂经典群？

主要发现

• 该理论在完全一般性下证明了经典群的全局Gan-Gross-Prasad猜想的一个方向。
• 在全局假设下，通过构造的下降方法证明了全局Gan-Gross-Prasad猜想的另一方向。
• 通过温良数据下局部对合算子的全纯性与非零性，建立了Bessel周期的互逆非零性。
• 证明了局部zeta积分在临界范围内非零，从而保证了全局下降的非零性。
• 在给定的指数界下，证明了归一化后的局部对合算子在Re(s) ≥ 1/2时全纯且非零。
• 在标准猜想假设下，对具有广义全局Arthur参数的所有经典群，通过扭曲下降构造自守模的方法均成立。