[论文解读] The equivalence between many-to-one polygraphs and opetopic sets

Cédric Ho Thanh|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了基于多项式函子导出的多胞形（opetopes）范畴上的opetopic sets（集合值预层）与多对一多复形（many-to-one polygraphs）之间的直接等价关系，后者是一种通过高维有向图生成自由高阶范畴的形式化方法。该等价关系通过多复形实现-诺斯（realization-nerve）伴随关系构建，证明了opetopic sets与多态集（multitopic sets）等价，并解决了关于opetopic plexes与opetopes之间关系的一个开放问题。

ABSTRACT

From the polynomial approach to the definition of opetopes of Kock et al., we derive a category of opetopes, and show that its set-valued presheaves, or opetopic sets, are equivalent to many-to-one polygraphs. As an immediate corollary, we establish that opetopic sets are equivalent to multitopic sets, introduced and studied by Harnick et al, and we also address an open question of Henry.

研究动机与目标

• 建立opetopic sets与多对一多复形之间的直接范畴等价关系，解决Henry提出的关于opetopic plexes与opetopes之间关系的开放问题。
• 证明opetopic sets的范畴与Harnick等人引入的multitopic sets的范畴等价。
• 证明opetopic plexes的范畴与opetopes的范畴等价，确认opetopic plexes是多对一多复形的正确形状对象。
• 通过多项式函子与左凯恩扩张（left Kan extensions）提供一种构造性、函子性的等价性证明，避免使用间接或模型论的论证。
• 通过表明其预层范畴等价，统一多种高维复合形式——opetopes、多复形、multitopes与dendrotopic sets——的方法。

提出的方法

• 使用多项式函子与Tn-Operads定义一个opetopes的范畴O，源自opetopes的多项式方法。
• 将opetopic sets的范畴定义为O上的集合值预层范畴，即Psh(O)。
• 将多对一多复形定义为通过粘合opetopes定义源与目标的单元生成的自由高阶范畴。
• 构建一个多复形实现函子∣−∣: O → Polmto，并通过左凯恩扩张将其扩展为预层上的左伴随函子。
• 为多复形P定义诺斯函子NP = Polmto(∣−∣, P)，形成伴随对(∣−∣, N)。
• 证明该伴随关系的单位与余单位均为自然同构，从而在Psh(O)与Polmto之间建立伴随等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 opetopic sets是否能以直接、函子性的方式与多对一多复形等价，而无需依赖间接的模型论构造？
• RQ2 opetopic plexes的范畴是否与opetopes的范畴等价，如Henry所猜想？
• RQ3 由于两者均与多对一多复形等价，opetopic sets是否与multitopic sets等价？
• RQ4 多复形实现函子与诺斯函子是否能构成opetopic sets与多对一多复形之间的伴随等价？
• RQ5 opetopes的范畴是否为柯西完备（Cauchy-complete），且这是否能确保预层范畴的等价性提升为生成范畴之间的等价？

主要发现

• opetopic sets的范畴Psh(O)与多对一多复形的范畴Polmto之间存在通过伴随等价建立的范畴等价。
• 该等价关系通过多复形实现-诺斯伴随关系建立，且单位与余单位均为自然同构。
• opetopes的范畴O与opetopic plexes的范畴Oplex之间等价，解决了Henry（2019）提出的开放问题。
• opetopic sets与multitopic sets等价，因为两者均与多对一多复形等价，从而确认了一个已知但此前仅通过间接方式证明的结果。
• opetopic sets的范畴与dendrotopic sets的范畴等价，因为两者均与多对一多复形等价。
• 该证明表明，形状函数将多复形的n-生成元划分为由opetopes索引的单元，且opetopic set X的n-单元与∣X∣的n-生成元之间存在同构。