[论文解读] The equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology III: from hat to plus

Vincent Colin, Paolo Ghiggini+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用 40

一句话总结

该论文为任意闭合定向3-流形 $M$ 建立了 Heegaard Floer同调群 $HF^+(-M)$ 与嵌入接触同调群 $ECH(M)$ 之间的拟同构。通过使用开书分解 $(S, \rho)$，作者构建了一个链映射 $Φ^+$，从 Heegaard Floer 链复形映射到嵌入接触同调复形，该映射在同伦意义下与 $U$-映射交换，从而通过代数拓扑论证证明了这两个不变量是同构的。

ABSTRACT

Given a closed oriented 3-manifold M, we establish an isomorphism between the Heegaard Floer homology group HF^+(-M) and the embedded contact homology group ECH(M). Starting from an open book decomposition (S,h) of M, we construct a chain map Φ^+ from a Heegaard Floer chain complex associated to (S,h) to an embedded contact homology chain complex for a contact form supported by (S,h). The chain map Φ^+ commutes up to homotopy with the U-maps defined on both sides and reduces to the quasi-isomorphism Φfrom "The equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology I, II" on subcomplexes defining the hat versions. Algebraic considerations then imply that the map Φ^+ is a quasi-isomorphism.

研究动机与目标

• 建立闭合定向3-流形 $M$ 的 $HF^+$ 与 $ECH$ 不变量之间的拟同构。
• 将此前为帽版本（$\widehat{HF}$ 与 $\widehat{ECH}$）构造的拟同构 $\Phi$ 扩展至加号版本。
• 定义一个链映射 $\Phi^+$，使其在同伦意义下与两侧的 $U$-映射交换。
• 证明 $\Phi^+$ 在同调上诱导出同构，从而确立 $HF^+$ 与 $ECH$ 的等价性。
• 通过过滤链复形，将 $\Phi^+$ 的几何构造与 $U$-作用的代数结构相协调。

提出的方法

• 从 $[0,1] \times \Sigma$ 构造一个辛钴 Bordism $X_+$ 到 $M$，扩展此前在帽版本中使用的钴 Bordism $W_+$。
• 使用一个包含单行映射的柱状端 $S_{1/2}$ 的几何钴 Bordism $X_+$ 定义链映射 $\Phi^+$，该映射结合了单行映射的环面。
• 使用满足 $g \geq 2$ 的开书分解 $(S, \rho)$ 定义 Heegaard 曲面 $\Sigma = S_0 \cup -S_{1/2}$ 及其相关链复形。
• 定义一个过滤链复形 $C(U)$ 来建模 $HF^+$，以及一个对应的 $C(U')$ 来建模 $ECH(M)$，并在 $C(U)$ 上定义一个过滤 $\widehat{\mathcal{F}}$。
• 在这些过滤复形之间构造一个代数映射 $\Phi_{\text{alg}}$，并通过谱序列论证证明其为拟同构。
• 通过交换图和同伦数据，证明 $\Phi^+$ 在同调上诱导的映射与帽版本上的已知拟同构 $\Phi_*$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个从 Heegaard Floer 复形 $CF^+(-M)$ 到嵌入接触同调复形 $ECC(M)$ 的链映射 $\Phi^+$，使其在同伦意义下与 $U$-映射交换？
• RQ2 能否通过一个几何定义的链映射，将 $\widehat{HF}(-M)$ 与 $\widehat{ECH}(M)$ 之间的同构关系扩展到加号版本？
• RQ3 如何通过几何钴 Bordism 将 $HF^+$ 上的 $U$-作用与 $ECH$ 上的 $U$-作用在代数上协调一致？
• RQ4 在同调上诱导的映射 $\Phi^+$ 是否为同构，从而证明 $HF^+$ 与 $ECH$ 的等价性？
• RQ5 该 $\Phi^+$ 的构造能否如先前工作一样使用扭曲系数完成？

主要发现

• 链映射 $\Phi^+$ 是 $CF^+(-M)$ 与 $ECC(M)$ 之间的拟同构，从而确立了同构关系 $HF^+(-M) \cong ECH(M)$。
• 映射 $\Phi^+$ 在同伦意义下与两侧的 $U$-映射交换，其同伦偏差为 $K^+ = K + \Phi^+ \circ H$，其中 $H$ 和 $K$ 由先前定理定义。
• 在过滤链复形之间的代数映射 $\Phi_{\text{alg}}$ 是拟同构，该结论通过谱序列论证及与已知同构的交换性得到证明。
• 构造 $\Phi^+$ 需要同时使用 $S_0$ 和 $S_{1/2}$ 在 Heegaard 曲面 $\Sigma = S_0 \cup -S_{1/2}$ 上，这与仅使用 $S_0$ 的帽版本不同。
• $\Phi^+$ 扩展了此前为帽版本构造的 $\Phi$，且其在同调上诱导的映射与 $\Phi_*$ 在定义 $\widehat{HF}$ 和 $\widehat{ECH}$ 的子复形上一致。
• 该证明依赖于谱序列的 $E^1$-页上诱导映射为同构这一事实，这表明原始映射 $\mathfrak{i}$ 及其后继 $\Phi_{\text{alg}}$ 均为拟同构。