[论文解读] The Ergodic Closing Lemma for Nonsingular Endomorphisms

Armando Castro|ArXiv.org|Jun 11, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文将Mañé的遍历闭合引理推广至紧黎曼流形上的$C^1$非奇异自同态，证明对于此类映射的残集，不变概率测度集是支撑在周期轨上的遍历测度的闭凸包。证明结合了拓扑扰动技术、遍历理论与Vitali覆盖论证，表明在测度论意义下，泛函轨道可被周期轨道追踪。

ABSTRACT

We prove the ergodic Closing Lemma for Nonsingular Endomorphisms.

研究动机与目标

• 将Mañé的遍历闭合引理从微分同胚推广至$C^1$非奇异自同态。
• 证明对于非奇异自同态的一个残集子集，不变概率测度是支撑在周期轨上的遍历测度的闭凸包。
• 为研究自同态动力系统中泛函双曲性与扩张性提供基础工具。

提出的方法

• 引入集合$\Sigma(f, \mathcal{U}, \epsilon)$，表示被邻近映射$g \in \mathcal{U}$的周期轨道$\epsilon$-追踪的点。
• 利用拓扑扰动引理，证明返回自身附近点可被$C^1$-接近的自同态的周期轨道$\epsilon$-追踪。
• 应用Birkhoff遍历定理与Vitali覆盖论证，证明对任意不变概率测度，追踪集具有全测度。
• 采用嵌套邻域基$\mathcal{U}_n$定义$\Sigma(f) = \bigcap_n \Sigma(f, \mathcal{U}_n, 1/n)$，以确保残性。
• 利用双曲周期点的鲁棒性，确保在残集内扰动保持双曲性。
• 利用轨道上经验测度的弱-*收敛，表明遍历测度是周期轨道测度的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mañé的遍历闭合引理能否推广至非奇异自同态？
• RQ2 对于泛函$C^1$非奇异自同态，其不变概率测度集是否为支撑在周期轨上的遍历测度的闭凸包？
• RQ3 对于泛函非奇异自同态，每个遍历不变测度是否均为周期轨道测度的弱-*极限？
• RQ4 能否在$C^1$非奇异自同态设定下建立泛函轨道被周期轨道追踪？
• RQ5 残集与周期测度凸包映射的连续性在证明泛函结构性质中起何作用？

主要发现

• 对于残集子集$\mathcal{R} \subset \mathrm{NEnd}^1(M)$，每个$f \in \mathcal{R}$满足$\mathcal{M}_1(f)$为支撑在$f$的周期轨上的遍历测度的闭凸包。
• 对任意$f$-不变概率测度，被邻近映射周期轨道$\epsilon$-追踪的点集$\Sigma(f)$具有全测度。
• 对任意$f \in \mathrm{NEnd}^1(M)$，集合$\Sigma(f, \mathcal{U}, \epsilon)$对$f$为全概率集，证明了遍历闭合引理的非残集版本。
• 遍历测度是来自邻近映射$g_k \to f$的周期轨道测度的弱-*极限，且周期点为双曲并可在小扰动下保持。
• 映射$f \mapsto \overline{\mathcal{M}_{\text{per}}(f)}$为下半连续，且该映射的连续点构成一个残集。
• 残集$\mathcal{R}$确保周期轨道遍历测度的闭凸包捕捉了所有$f$-遍历测度，证实了结构稳定性猜想的测度论方面。