[论文解读] The Error Probability of Maximum-Likelihood Decoding over Two Deletion Channels

Omer Sabary, Eitan Yaakobi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

DNA and Biological Computing参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文分析了在两个独立的删除或插入信道上传输序列时，最大似然（ML）译码的误码概率。识别出运行删除和交替序列错误为主要错误模式，推导出 $q$-元序列的 ML 解码器误码概率约为 $rac{3q-1}{q-1}p^2$，并对 VT 和移位 VT 码给出了更紧的界，通过在删除和插入信道上的仿真验证了结果。

ABSTRACT

This paper studies the problem of reconstructing a word given several of its noisy copies. This setup is motivated by several applications, among them is reconstructing strands in DNA-based storage systems. Under this paradigm, a word is transmitted over some fixed number of identical independent channels and the goal of the decoder is to output the transmitted word or some close approximation. The main focus of this paper is the case of two deletion channels and studying the error probability of the maximum-likelihood (ML) decoder under this setup. First, it is discussed how the ML decoder operates. Then, we observe that the dominant error patterns are deletions in the same run or errors resulting from alternating sequences. Based on these observations, it is derived that the error probability of the ML decoder is roughly $\frac{3q-1}{q-1}p^2$, when the transmitted word is any $q$-ary sequence and $p$ is the channel's deletion probability. We also study the cases when the transmitted word belongs to the Varshamov Tenengolts (VT) code or the shifted VT code. Lastly, the insertion channel is studied as well. These theoretical results are verified by corresponding simulations.

研究动机与目标

• 分析当序列在两个独立的删除或插入信道上传输时，最大似然译码的误码概率。
• 识别并表征在此双信道模型下 ML 译码中的主要错误模式。
• 推导误码概率的解析表达式，特别是针对 $q$-元序列、VT 码和移位 VT 码。
• 通过在删除和插入信道上进行仿真，验证理论结果，其中删除/插入概率各不相同。

提出的方法

• 建模序列在两个独立的删除或插入信道上的传输，每个信道输出原始序列的子序列或超序列。
• 识别出两种主要错误模式：同一运行内的删除和来自交替子序列的错误。
• 使用嵌入数论计算每个候选词为原始词的可能性，从而实现 ML 译码。
• 基于运行错误和交替序列错误的概率，利用组合与概率分析推导误码概率的渐近表达式。
• 应用动态规划计算最短公共超序列（SCS），以生成译码的候选词。
• 通过在长度为 $n=450$（删除）和 $n=500$（插入）的序列上进行仿真，验证理论结果，测量 Levenshtein 误码率和失败概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两个删除信道上，影响最大似然译码性能的主要错误模式是什么？
• RQ2 对于任意 $q$-元序列，ML 译码的误码概率如何随删除概率 $p$ 和字母表大小 $q$ 变化？
• RQ3 当发送的码字属于 Varshamov-Tenengolts（VT）码或移位 VT 码时，误码概率有何不同？
• RQ4 插入信道情况下的误码概率是多少？与删除情况相比有何差异？
• RQ5 理论误码概率表达式与仿真得到的实证结果相比如何？

主要发现

• 在两个删除信道上，ML 译码的主要错误模式是同一运行内的删除和来自交替子序列的错误。
• 对于任意 $q$-元序列，ML 解码器的误码概率约为 $\frac{3q-1}{q-1}p^2$，其中 $\frac{q+1}{q-1}p^2$ 来自运行错误，$2p^2$ 来自交替序列错误。
• 对于 VT 码，误码概率约为 $\left(1 - \mathsf{P_{run}}(q,p)\right)^n \cdot \left(1 - \mathsf{P_{alt}}(q,p)\right)^n$，反映了其纠正单个运行错误或交替错误的能力。
• 对于移位 VT 码，失败概率主要由交替序列错误主导，且 $\mathsf{P_{fail}}(SVT_n, q, p) \approx \left(1 - \mathsf{P_{run}}(q,p)\right)^n \cdot \left(1 - \mathsf{P_{alt}}(q,p)\right)^n + n\mathsf{P_{alt}}(q,p)(1 - \mathsf{P_{alt}}(q,p))^{n-1}$。
• 对于插入信道，误码概率约为 $\frac{3q-1}{q(q-1)}p^2 + O(p^3)$，其中运行错误和交替错误的贡献分别为 $\frac{q+1}{q(q-1)}p^2$ 和 $\frac{2}{q}p^2$。
• 在 $n=450$（删除）和 $n=500$（插入）的序列上进行的仿真结果，验证了所有码型的理论误码率表达式和失败概率。