[论文解读] The fattened Davis complex and weighted $L^2$–(co)homology of Coxeter groups

Wiktor J. Mogilski|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 27被引用 1

一句话总结

该论文通过使用加权 $L^2$-(co)上同调与加宽化的戴维斯复形，证明了三维和四维考克斯eter群的加权辛格猜想。当神经元 $L$ 是 $S^2$ 的三角剖分且不与双曲 3-单形对偶时（在三维情形），证明了 $L^2_qH^k(\Sigma_L)$ 在 $k > n/2$ 且 $q \leq 1$ 时的消失性；在四维情形下，基于顶点邻域的全子复形条件。关键结果是：对所有 $q$，加权 $L^2$-(co)上同调集中在单一度数，且通过生成函数显式计算贝蒂数。

ABSTRACT

This article consists of two parts. First, we propose a program to compute the weighted [math] –(co)homology of the Davis complex by considering a thickened version of this complex. The program proves especially successful provided that the weighted [math] –(co)homology of certain infinite special subgroups of the corresponding Coxeter group vanishes in low dimensions. We then use our complex to perform computations for many examples of Coxeter groups. Second, we prove the weighted Singer conjecture for Coxeter groups in dimension three under the assumption that the nerve of the Coxeter group is not dual to a hyperbolic simplex, and in dimension four under the assumption that the nerve is a flag complex. We then prove a general version of the conjecture in dimension four where the nerve of the Coxeter group is assumed to be a flag triangulation of a [math] –manifold.

研究动机与目标

• 通过加权 $L^2$-(co)上同调，证明考克斯eter群在三维和四维情形下的加权辛格猜想。
• 在神经元 $L$ 满足特定几何条件时，建立 $L^2_qH^k(\Sigma_L)$ 在 $k > n/2$ 且 $q \leq 1$ 时的消失性。
• 将猜想推广至 3-流形的旗三角剖分，推广先前对球面情形的结果。
• 通过生成函数与冯·诺依曼维数理论，显式计算 $L^2_q$-贝蒂数。

提出的方法

• 将戴维斯复形 $\Sigma_L$ 用作一个可缩的 $W$-CW复形，其上考克斯eter群 $W$ 作用适当且共紧。
• 应用带权 $L^2$-(co)上同调，权重元组 $q = (q_s)_{s \in S}$，$q_s > 0$，且在共轭下不变，以定义 $L^2_qH^k(\Sigma_L)$ 及其冯·诺依曼维数。
• 利用加权庞加莱对偶性，将高阶消失性与低阶消失性关联。
• 对与顶点邻域和星形相关的子复形应用 Mayer–Vietoris 序列于 $L^2_q$-上同调。
• 以定理 8（对盘状神经元的高阶消失性）和定理 3（三维情形的消失性）作为基础工具。
• 利用考克斯eter胞腔的结构与 (U,T)-毁坏分解，通过弱正合序列分析上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 当神经元为不与双曲 3-单形对偶的 $S^2$ 三角剖分时，加权辛格猜想是否在三维考克斯eter群中成立？
• RQ2 若存在某个顶点的邻域是不与双曲 3-单形对偶的全子复形，加权辛格猜想是否可在四维情形下成立？
• RQ3 该猜想是否对 3-流形的旗三角剖分成立，从而推广球面情形？
• RQ4 对于不同的 $q$，$L^2_q$-(co)上同调在各度数上的精确分布为何？
• RQ5 能否从考克斯eter群的生成函数显式计算 $L^2_q$-贝蒂数？

主要发现

• 在三维情形，当神经元 $L$ 是不与双曲 3-单形对偶的 $S^2$ 三角剖分时，有 $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$ 对所有 $k > 1$ 且 $q \leq 1$ 成立。
• 在四维情形，若存在某个顶点，其邻域是不与双曲 3-单形对偶的全子复形，则 $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$ 对所有 $k > 2$ 且 $q \leq 1$ 成立。
• 对于 $S^3$ 的旗三角剖分，加权 $L^2$-(co)上同调集中在单一度数，具体取决于 $q$：当 $q \in \bar{R}$ 时为维度 0；当 $q \notin R$ 且 $q \leq 1$ 时为维度 1；当 $q \notin R^{-1}$ 且 $q \geq 1$ 时为维度 2；当 $q \in \bar{R}^{-1}$ 时为维度 3。
• $L^2_q$-贝蒂数可通过 [7, 推论 3.4] 与标准生成函数计算 [3, 定理 17.1.9] 显式计算得出。
• 在三维情形，该猜想被约化为有限多个情形：仅剩九个拉纳群（与双曲 3-单形对偶）尚未证明。
• 对于 3-流形的旗三角剖分，有 $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$ 对所有 $k > 2$ 且 $q \leq 1$ 成立，推广了 $S^3$ 的情形。