[论文解读] The Field-Theoretic Approach in General Relativity and Other Metric Theories. A Review

А. Н. Петров, J. Brian Pitts|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 39被引用 9

一句话总结

本文回顾了广义相对论及其他度规理论的场论表述，其中引力被视为在固定背景时空上传播的场，从而可通过拉格朗日形式化实现精确重述。主要贡献在于利用诺特定理推导出守恒流与超势能，明确应用于史瓦西黑洞，并推广至洛韦洛克引力和有质量引力子。

ABSTRACT

GR and other metric theories of gravity are formulated with an arbitrary auxiliary curved background in a Lagrangian formalism. A new sketch of how to include spinor fields is included. Conserved quantities are obtained using Noether's theorem and expressed as divergences of antisymmetric densities, connecting local perturbations with quasi-local conserved quantities. The background's arbitrariness matches the so-called non-localizability of gravitational energy (infinity of localizations). The formalism has two partly overlapping uses: practical applications of pure GR (with fictitious background) and foundational considerations in which background causality facilitates quantization. The Schwarzschild solution is a primary application. Various possibilities for calculating the mass using surface integration are given. A field-theoretic curved spacetime is given from spatial infinity to the horizon and even to the true singularity. Trajectories of test particles in the Schwarzschild geometry are gauge-dependent in that even breakdowns at the horizon can be suppressed (or generated) by naive gauge transformations. This fact illustrates the auxiliary nature of the background metric and the need for some notion of maximal extension---much as with coordinate transformations in geometric GR. A continuous collapse to a point mass in the field-theoretic framework is given. The field-theoretic method is generalized to arbitrary metric theories in $D$ dimensions. The results are developed in the framework of Lovelock gravity and applied to calculate masses of Schwarzschild-like black holes. The bimetric formalism makes it natural to consider a graviton mass. Babak and Grishchuk's numerical and hence nonperturbative work sheds light on questions of a (dis)continuous massless limit for massive pure spin-2 and the classical (in)stability of spin-2/spin-0 theory.

研究动机与目标

• 将广义相对论及其他度规理论重新表述为在固定背景时空上的场论，保持与原始几何表述的精确等价性。
• 通过应用于具有背景依赖对称性的拉格朗日框架，利用诺特定理推导守恒流与拟局部量。
• 阐明背景度规在定义因果性和规范依赖性中的作用，特别是在引力能量非局域化背景下的意义。
• 通过超势能的表面积分演示该方法在计算史瓦西黑洞质量方面的实用性。
• 将形式化推广至任意D维度的度规理论，包括洛韦洛克引力和有质量引力子理论，并探讨有质量自旋-2理论在无质量极限下的行为。

提出的方法

• 通过将度规微扰视为在固定背景时空（可为弯曲且非对称）上传播的动力场，将引力表述为场论。
• 构建引力场与物质场的拉格朗日量，通过变分原理推导运动方程。
• 将诺特定理应用于拉格朗日量，推导守恒流，其表达为反对称超势能（张量密度）的散度。
• 以曲率不变量、联络系数和基灵矢量场为变量，推导超势能与流的显式表达式。
• 利用该形式化方法，通过时空类空超曲面上的表面积分计算守恒量（如质量），特别针对史瓦西解。
• 将框架推广至高维洛韦洛克引力，并分析有质量引力子的行为，包括无质量极限的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不损失物理内容的前提下，将广义相对论精确地重述为在固定背景时空上的场论？
• RQ2 背景度规在定义守恒量与因果性方面起什么作用，特别是在引力能量非局域化背景下？
• RQ3 通过诺特定理推导出的超势能与守恒流，如何与史瓦西解背景下已知的赝张量（如帕帕佩特鲁赝张量）相联系？
• RQ4 该场论形式化能否在跨越奇点的情况下，通过超势能的表面积分一致地描述黑洞质量？
• RQ5 该形式化对有质量引力理论（特别是自旋-2理论）有何影响，尤其在无质量极限的稳定性与连续性方面？

主要发现

• 广义相对论的场论表述与标准几何表述完全等价，背景度规仅作为数学工具而非物理实体。
• 守恒流通过诺特定理推导，并表达为反对称超势能的散度，从而将局部场微扰与拟局部守恒量联系起来。
• 对于史瓦西解，质量可通过超势能的表面积分计算，且时空几何（包括视界与奇点）可被描述为在闵可夫斯基空间上由狄拉克δ函数构成的场配置。
• 在此形式化中，测试粒子的轨迹具有规范依赖性，体现了背景的辅助性质，且需最大延拓，类似于几何广义相对论中的坐标变换。
• 该形式化自然容纳有质量引力子，并可分析引力子质量趋于零时的（不）连续极限，对有质量自旋-2理论的稳定性具有启示意义。
• 该方法可推广至任意D维度的度规理论，包括洛韦洛克引力，且可在这些理论中对类似史瓦西的黑洞实现一致的质量计算。