[论文解读] The finite-state character of physical dynamics

Norman Margolus|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 4

一句话总结

本文确立了物理动力学本质上是有限状态的，表明能量和动量定义了随时间或距离可区分状态的最大数量。通过推广奈奎斯特和量子不确定性界限，证明有限带宽演化——无论是经典还是量子——均达到最大状态计数，从而将能量和动量重新定义为离散时间和空间中的状态计数度量。

ABSTRACT

Finite physical systems have only a finite amount of distinct state. This finiteness is fundamental in statistical mechanics, where the maximum number of distinct states compatible with macroscopic constraints defines entropy. Here we show that finiteness of distinct state is similarly fundamental in ordinary mechanics: energy and momentum are defined by the maximum number of distinct states possible in a given time or distance. More generally, any moment of energy or momentum bounds distinct states in time or space. These results generalize both the Nyquist bandwidth-bound on distinct values in classical signals, and quantum uncertainty bounds. The new certainty bounds are achieved by finite-bandwidth evolutions in which time and space are effectively discrete, including quantum evolutions that are effectively classical. Since energy and momentum count distinct states, they are defined in finite-state dynamics, and they relate classical mechanics to finite-state evolution.

研究动机与目标

• 确立有限物理系统仅有有限多个可区分状态，将有限性的角色从统计力学扩展至更广范围。
• 表明能量和动量本质上由在给定时间或距离内可实现的不同状态的最大数量所定义。
• 将奈奎斯特带宽极限和量子不确定性原理推广为有限时间或有限距离演化中状态可区分性的确定性界限。
• 证明有限带宽波函数——无论经典或量子——均可从离散样本完全重建，暗示时间与空间的真正离散性。
• 将经典作用量和动量重新定义为不同状态的计数，表明运动的限制并非来自动能，而是来自动量-速度乘积。

提出的方法

• 将时间演化形式化为能量本征态的叠加：$|\psi(t)\rangle = \sum_n a_n e^{-2\pi i \nu_n t} |E_n\rangle$，其中 $\nu_n = E_n/h$。
• 关于中心频率 $\alpha$ 定义平均频率宽度（矩）为 $\langle \nu - \alpha \rangle_M = \left( \sum_n |a_n|^2 |\nu_n - \alpha|^M \right)^{1/M}$，推广带宽度量。
• 利用时间上的正交态跃迁推导界限：$(E - E_0)\tau \geq \frac{N-1}{N} \frac{h}{2}$，其中 $\tau$ 为 $N$ 个不同状态之间的平均时间间隔。
• 应用傅里叶对偶性：利用位置和动量基态 $|n\rangle$ 与 $|k\rangle$ 之间的离散傅里叶变换关系，建模有限带宽动力学。
• 构造一个哈密顿量 $\mathsf{H}$，其能量层级等距分布为 $E_k = kh/(N\tau)$，确保离散时间演化 $\mathsf{U}_\tau |n\rangle = |n+1\rangle$。
• 使用采样函数 $S(N,u) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i k u / N}$ 从离散样本插值出连续时间演化，证明连续与离散表示之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定能量带宽限制下，有限时间区间内可无歧义区分的量子态最多有多少个？
• RQ2 经典概念中的能量和动量能否被重新解释为时间与空间中最大可区分态数的度量？
• RQ3 在时间演化系统中，实现 $N$ 个不同正交态所需的最小带宽是多少？这与不确定性原理和奈奎斯特界限有何关联？
• RQ4 当带宽有限时，连续时间量子演化在多大程度上等价于离散采样？
• RQ5 动量-速度乘积 $pv$ 如何比动能 $E - mc^2$ 更严格地限制运动态的变化？

主要发现

• 该界限 $(E - E_0)\tau \geq \frac{N-1}{N} \frac{h}{2}$ 对于任意 $N$ 个在时间演化中具有平均间隔 $\tau$ 的不同正交态均成立，当 $N=2$ 时推广了不确定性原理。
• 能量和动量被重新定义为单位时间或单位距离内可区分态的最大计数，使其成为有限状态动力学的内在度量。
• 有限带宽演化（包括具有离散能谱的量子系统）可完全从离散样本中重建，暗示时间与空间具有有效离散性。
• 离散平移演化 $\mathsf{U}_\tau |n\rangle = |n+1\rangle$ 可通过 $N$ 个等距能量本征态的等权叠加实现，达到 $N$ 个不同态的理论最小带宽。
• 连续演化 $\psi(x,t) = \sum_{k=0}^{K-1} \psi(x,k) S(K,k-t)$ 可精确地从离散样本插值得出，证明有限带宽信号所含信息量不超过其离散样本。
• 经典作用量被重新解释为可能的不同态数的计数，且表明动量 $p$ 比动能更严格地限制运动态的变化，其中 $pv$ 为相关度量。