[论文解读] The Free Fermion Anomaly and Representations of the Pin Groups

Yakov Landau|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Topological Materials and Phenomena参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了在半整数通量环上自由复费米子与玻色子之间的对偶性，表明两者均表现出与Pin±(2)群相关的离散异常。关键贡献在于提出一种新方法，通过时间反演与电荷共轭之间的对易关系TCT = ±C来区分Pin₊(2n)与Pin₋(2n)的不可约表示，该关系与C² = ±1相关联，并决定了异常类型。

ABSTRACT

We consider a duality between a boson on a ring and a free fermion and show that they have an anomaly which corresponds to the states transforming under double covers of O(2). There are two (in general not isometric) double covers of O(2), known as Pin$_+(2)$ and Pin$_-(2)$. These can in general be distinguished at the group level by checking whether reflections square to $\pm 1$. We show that in irreducible representations in complex Hilbert spaces the commutation of time reversal and charge conjugation gives another method for distinguishing Pin$_+(2)$ and Pin$_-(2)$. While we only demonstrate the duality for a single fermion, the anomaly is also present in any number of free fermions. For an even number of fermions we show that the two double covers of O(2n) are isomorphic. For an odd number of fermions we show that the distinction between irreducible representations of Pin$_+$ and Pin$_-$ can still be detected by the commutation of time reversal and charge conjugation namely Pin$_\pm(2n)$ will have $TCT = \pm C$.

研究动机与目标

• 解决在自由费米子异常背景下区分Pin₊(2)与Pin₋(2)结构的模糊性。
• 将异常分类扩展至多个自由费米子系统，特别是奇数与偶数个费米子的情形。
• 建立一种利用时间反演与电荷共轭对称性来区分Pin₊(2n)与Pin₋(2n)不可约表示的方法。
• 确认在费米子与玻色子对偶实现中，相同的离散异常均出现。

提出的方法

• 构建一个在半整数磁通量环上的自由复费米子与玻色子之间的对偶性，表明两者具有相同的基态与对称性。
• 定义O(2)的两个双重覆盖，即Pin₊(2)与Pin₋(2)，其区别在于反射运算的平方是+1还是-1。
• 利用对易关系TCT = ±C来区分Pin₊(2n)与Pin₋(2n)的不可约表示，其中T为时间反演，C为电荷共轭。
• 在ℂ(2ⁿ)中使用γ矩阵显式构造克利福德代数表示，并将时间反演定义为T = θσ_y⊗⋯⊗σ_y，满足T² = (-1)ⁿ。
• 引入非线性算子J₊ = TM与J₋ = TP，其中M与P为特定指标下γ矩阵的乘积，以判断表示是否为实或四元数型。
• 证明J₊仅在Pin₊(2n)上等变，而J₋仅在Pin₋(2n)上等变，并通过计算J²来依据n mod 4确定表示的实/四元数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了群层面的关系外，如何进一步区分Pin₊(2)与Pin₋(2)结构？
• RQ2 时间反演与电荷共轭在区分Pin₊(2n)与Pin₋(2n)不可约表示中起什么作用？
• RQ3 在多个自由费米子系统中，异常是否仍可通过TCT = ±C检测到？其依赖于费米子数量的规律是什么？
• RQ4 相同的离散异常是否能在费米子与玻色子对偶理论中一致实现？
• RQ5 表示的实或四元数结构如何与Pin±(2n)中的异常类型相关联？

主要发现

• 自由费米子与环上玻色子系统的异常由Pin₊(2)或Pin₋(2)结构分类，其区别在于C² = 1或C² = -1。
• 当n为奇数时，Pin₊(2n)与Pin₋(2n)的不可约表示分别由对易关系TCT = C与TCT = -C区分。
• 当n ≡ 1 mod 4时，Pin₊(2n)为四元数型，Pin₋(2n)为实型；当n ≡ 3 mod 4时，二者角色互换，此结果由J₊²与J₋²确定。
• 自由费米子与环上玻色子之间的对偶性保持了异常，证实两种理论具有相同的离散对称性异常。
• 对于偶数个费米子，双覆盖Pin₊(2n)与Pin₋(2n)同构，但通过TCT = ±C在表示理论中仍保持区分。
• 利用TCT = ±C区分Pin±(2n)表示的方法，为群层面定义提供了一种稳健的替代方案，尤其适用于不可约复表示。