[论文解读] The generalized 3-connectivity of Cartesian product graphs

Hengzhe Li, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 19

一句话总结

本文研究了笛卡尔积图的广义3-连通性，基于因子图的3-连通性和标准连通性，建立了 $κ_3(G\Box H)$ 的紧下界。当 $\kappa(G) > \u03ba_3(G)$ 时，证明了 $κ_3(G\Box H) \geq \u03ba_3(G) + \u03ba_3(H)$；当 $\kappa(G) = \u03ba_3(G)$ 时，证明了 $\u03ba_3(G\Box H) \geq \u03ba_3(G) + \u03ba_3(H) - 1$，并通过构造和实例展示了这两个界都是紧的。

ABSTRACT

The generalized connectivity of a graph, which was introduced recently by Chartrand et al., is a generalization of the concept of vertex connectivity. Let $S$ be a nonempty set of vertices of $G$, a collection $\{T_1,T_2,...,T_r\}$ of trees in $G$ is said to be internally disjoint trees connecting $S$ if $E(T_i)\cap E(T_j)=\emptyset$ and $V(T_i)\cap V(T_j)=S$ for any pair of distinct integers $i,j$, where $1\leq i,j\leq r$. For an integer $k$ with $2\leq k\leq n$, the $k$-connectivity $κ_k(G)$ of $G$ is the greatest positive integer $r$ for which $G$ contains at least $r$ internally disjoint trees connecting $S$ for any set $S$ of $k$ vertices of $G$. Obviously, $κ_2(G)=κ(G)$ is the connectivity of $G$. Sabidussi showed that $κ(G\Box H) \geq κ(G)+κ(H)$ for any two connected graphs $G$ and $H$. In this paper, we first study the 3-connectivity of the Cartesian product of a graph $G$ and a tree $T$, and show that $(i)$ if $κ_3(G)=κ(G)\geq 1$, then $κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)$; $(ii)$ if $1\leq κ_3(G)< κ(G)$, then $κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)+1$. Furthermore, for any two connected graphs $G$ and $H$ with $κ_3(G)\geqκ_3(H)$, if $κ(G)>κ_3(G)$, then $κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)$; if $κ(G)=κ_3(G)$, then $κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)-1$. Our result could be seen as a generalization of Sabidussi's result. Moreover, all the bounds are sharp.

研究动机与目标

• 将Sabidussi关于图连通性的经典结果推广到笛卡尔积图的广义3-连通性设置。
• 根据因子图 $G$ 和 $H$ 的3-连通性和标准连通性，确定 $G\Box H$ 的3-连通性的紧下界。
• 阐明 $G$ 和 $H$ 的内部结构，特别是其 $\kappa_3$ 和 $\kappa$ 值，如何影响产品图在通过内部不相交树连接任意三个顶点时的鲁棒性。

提出的方法

• 作者定义并利用内部不相交的 $S$-树（其中 $S$ 是三个顶点的集合），以度量广义3-连通性 $\kappa_3(G)$，从而推广标准点连通性。
• 他们应用Menger定理和路径分解技术，在 $\kappa(G) > \kappa_3(G)$ 时，通过利用树结构 $T$ 的特性，在 $G\Box T$ 中构造出 $k+1$ 个内部不相交的树，以确保不相交性。
• 对于一般图 $G$ 和 $H$，该方法通过在乘积图中组合来自 $G$ 和 $H$ 的树，结合共享顶点副本，构造出 $\kappa_3(G) + \kappa_3(H)$ 或 $\kappa_3(G) + \kappa_3(H) - 1$ 个内部不相交的 $S$-树。
• 证明基于产品图中三个顶点 $x,y,z$ 的位置进行分类讨论，区分它们位于不同、两个相同或同一 $G$ 复制副本中的情况。
• 作者采用递归构造技术，在每个子图 $G_{i} = G\Box T_i$ 中构建 $k_i - k_{i-1} + 1$ 个不相交的树，确保在整个乘积图中保持全局不相交性。
• 通过显式构造和实例（包括 $K_n \Box P_m$ 和示例3.1）展示了界的紧性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于连通图 $G$ 和 $H$，$\kappa_3(G\Box H)$ 的最小可能值如何用 $\kappa_3(G)$、$\kappa_3(H)$、$\kappa(G)$ 和 $\kappa(H)$ 表示？
• RQ2 $\kappa(G)$ 与 $\kappa_3(G)$ 之间的关系如何影响笛卡尔积 $G\Box H$ 的3-连通性？
• RQ3 广义3-连通性是否可以被一个下界所界定，从而推广Sabidussi的不等式 $\kappa(G\Box H) \geq \kappa(G) + \kappa(H)$？
• RQ4 在什么条件下，$\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H)$ 的界是紧的，而 $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H) - 1$ 是最优的？

主要发现

• 对于任意连通图 $G$ 和树 $T$，若 $\kappa_3(G) = \kappa(G) \geq 1$，则 $\kappa_3(G\Box T) \geq \kappa_3(G)$；若 $1 \leq \kappa_3(G) < \kappa(G)$，则 $\kappa_3(G\Box T) \geq \kappa_3(G) + 1$，且这两个界都是紧的。
• 对于一般连通图 $G$ 和 $H$ 且满足 $\kappa_3(G) \geq \kappa_3(H)$，若 $\kappa(G) > \kappa_3(G)$，则 $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H)$，且该界是紧的。
• 若 $\kappa(G) = \kappa_3(G)$，则 $\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H) - 1$，且该界也是紧的。
• 当 $K_n \Box P_m$ 时，$\kappa_3(G\Box H) \geq \kappa_3(G) + \kappa_3(H)$ 的界取等，其中 $\kappa_3(K_n) = n-2$，$\kappa_3(P_m) = 1$，且 $\kappa_3(K_n \Box P_m) = n-1$。
• 在 $G\Box H$ 中构造内部不相交树依赖于将乘积图分解为子图 $G\Box T_i$，其中 $T_i$ 是 $H$ 中 $\ell$ 个内部不相交的 $\{v_1,v_2,v_3\}$-树，通过在 $G(v_1), G(v_2), G(v_3)$ 中共享顶点集来确保不相交性。
• 本文通过显式实例（包括 $K_n \Box P_m$ 和示例3.1）确认了界是紧的，表明在两种情况下等式均可取到。