[论文解读] The Generalized Birman-Schwinger Principle

Jussi Behrndt, Tom Ter Elst+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 67被引用 4

一句话总结

本文为非自伴算子建立了广义的Birman–Schwinger原理，将经典框架扩展至包含广义特征向量的代数与几何重数及若尔当代数链的详细分析。主要贡献在于通过一个针对非自伴情形的新Weinstein–Aronszajn公式，建立了扰动算子与其关联的Birman–Schwinger算子之间特征值与广义特征向量的严格对应关系。

ABSTRACT

We prove a generalized Birman-Schwinger principle in the non-self-adjoint context. In particular, we provide a detailed discussion of geometric and algebraic multiplicities of eigenvalues of the basic operator of interest (e.g., a Schrödinger operator) and the associated Birman-Schwinger operator, and additionally offer a careful study of the associated Jordan chains of generalized eigenvectors of both operators. In the course of our analysis we also study algebraic and geometric multiplicities of zeros of strongly analytic operator-valued functions and the associated Jordan chains of generalized eigenvectors. We also relate algebraic multiplicities to the notion of the index of analytic operator-valued functions and derive a general Weinstein-Aronszajn formula for a pair of non-self-adjoint operators.

研究动机与目标

• 将Birman–Schwinger原理从自伴算子推广至非自伴情形。
• 分析原始算子与其Birman–Schwinger对应算子之间特征值的代数重数与几何重数的对应关系。
• 在强解析算子值函数的背景下，研究广义特征向量的若尔当代数链。
• 将代数重数与亚纯算子值函数的指标联系起来。
• 为非自伴算子对推导广义的Weinstein–Aronszajn公式。

提出的方法

• 通过将扰动分解为 $ V = V_2^*V_1 $ 的方式，建立广义Birman–Schwinger原理，将 $ H = H_0 + V $ 的特征值问题与Birman–Schwinger算子的特征值问题联系起来。
• 分析无界非自伴算子的若尔当代数链与广义特征向量的结构，特别关注Schrödinger算子的情形。
• 研究强解析算子值函数的零点，通过洛朗展开与弗雷德霍尔姆理论刻画其代数重数与几何重数。
• 应用解析弗雷德霍尔姆定理与亚纯弗雷德霍尔姆定理于算子族，确保预解式奇点的存在性与结构。
• 利用留数理论，将特征值的代数重数与亚纯算子值函数的指标联系起来。
• 通过将谱数据与关联算子族的指标联系起来，推导出非自伴算子的广义Weinstein–Aronszajn公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Birman–Schwinger原理如何推广至非自伴算子，特别是在特征值与广义特征向量对应关系方面？
• RQ2 非自伴Schrödinger算子与其关联Birman–Schwinger算子之间，特征值的代数重数与几何重数之间的确切关系是什么？
• RQ3 在该广义原理下，广义特征向量的若尔当代数链行为如何？它们在两个算子之间如何关联？
• RQ4 能否通过函数的指标来刻画强解析算子值函数零点的代数重数？
• RQ5 在非自伴情形下，广义Weinstein–Aronszajn公式的具体形式是什么？它如何与谱数据及弗雷德霍尔姆理论关联？

主要发现

• 广义Birman–Schwinger原理建立了扰动算子 $ H = H_0 + V_2^*V_1 $ 与关联Birman–Schwinger算子之间广义特征向量的若尔当代数链的一一对应关系。
• 特征值的代数重数与几何重数在广义对应下保持不变，且在非自伴情形下推导出了其相等性的显式公式。
• 本文证明了强解析算子值函数零点的代数重数等于该点处函数的指标，从而提供了谱论的解释。
• 为非自伴算子推导出一个新的Weinstein–Aronszajn公式，将谱移与关联算子族的指标联系起来。
• 应用亚纯弗雷德霍尔姆定理，表明Birman–Schwinger算子的预解式是有限亚纯的，极点对应于特征值及其重数。
• 分析结果确认，在缺乏自伴性的情况下，广义特征向量结构（包括若尔当代数链）在广义Birman–Schwinger对应下依然保持不变。