[论文解读] The Generalized Metrical Multi-Time Lagrange Space of Relativistic Geometrical Optics

Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出广义度量多时间拉格朗日空间 $RGOGML^{n}_{p}$ 作为多时间框架下相对论性几何光学的几何框架。通过将辛格的相对论性光学度量推广至具有多个时间坐标的1-喷线丛，利用嘉当典范联络与d-张量形式，推导出引力场与电磁场的爱因斯坦方程与麦克斯韦方程，构建出具有一致守恒律与场方程的统一场论模型。

ABSTRACT

The paper constructs a generalized metrical multi-time Lagrange space, which allows a natural development of relativistic geometrical optics theories, in a general setting.

研究动机与目标

• 使用1-喷线丛构建多时间框架下相对论性几何光学的几何模型。
• 将辛格的相对论性几何光学度量推广至具有 $p$ 个时间坐标的广义度量多时间拉格朗日空间。
• 在该广义多时间几何中推导引力势的爱因斯坦方程。
• 引入电磁d-张量，并在 $RGOGML^{n}_{p}$ 空间上推导麦克斯韦型方程。
• 在该多时间场几何背景下建立应力-能量d-张量及其守恒律的表述。

提出的方法

• 通过在1-喷线丛 $J^1(T,M)$ 上使用克罗内克 $h$-正则垂直度量d-张量 $G^{(eta)(eta)}_{(i)(j)} = h^{etaeta}g_{ij}$，形式化广义度量多时间拉格朗日空间 $RGOGML^{n}_{p}$。
• 在 $RGOGML^{n}_{p}$ 上使用嘉当典范联络 $C\Gamma$，定义d-张量微分的局部协变导数 $|_{j}$，$|^{(eta)}_{(j)}$ 与 $_{/\beta}$。
• 利用联络系数 $\Lambda^{m}_{ij}$，$C^{\beta}_{mji}$ 与 $G^{p}_{i\beta}$ 推导d-曲率与d-挠率分量。
• 从基本d-张量与联络构造度量偏转d-张量 $\bar{D}^{(\alpha)}_{(i)\beta}$，$D^{(\alpha)}_{(i)j}$ 与 $d^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$。
• 通过偏转分量的反对称化，定义特殊的电磁2-形式 $F = F^{(\alpha)}_{(i)j}\delta x^i_\alpha \wedge dx^j + f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}\delta x^i_\alpha \wedge \delta x^j_\beta$。
• 通过协变导数与曲率项对电磁分量 $F^{(\alpha)}_{(i)j}$ 与 $f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ 施加场方程，推导出 $RGOGML^{n}_{p}$ 上的完整麦克斯韦方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用1-喷线丛将辛格的相对论性几何光学度量推广至多时间框架？
• RQ2 广义度量多时间拉格朗日空间 $RGOGML^{n}_{p}$ 中引力势的爱因斯坦方程是什么？
• RQ3 应力-能量d-张量及其守恒律在该多时间几何框架中如何表述？
• RQ4 $RGOGML^{n}_{p}$ 中电磁场的结构如何？麦克斯韦方程如何从d-联络形式中导出？
• RQ5 电磁分量 $F^{(\alpha)}_{(i)j}$ 与 $f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ 在该几何中通过协变微分如何变换与相互作用？

主要发现

• 电磁2-形式在 $RGOGML^{n}_{p}$ 上通过反对称化的度量偏转d-张量定义：$F^{(\alpha)}_{(i)j} = \frac{1}{2}(D^{(\alpha)}_{(i)j} - D^{(\alpha)}_{(j)i})$，$f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)} = \frac{1}{2}(d^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)} - d^{(\alpha)(\beta)}_{(j)(i)})$。
• 电磁分量的局部表达式为 $F^{(\alpha)}_{(i)j} = \left[\varphi_{ir}\Lambda^{r}_{mj} - \varphi_{jr}\Lambda^{r}_{mi} + A_i\Lambda^{0}_{mj} - A_j\Lambda^{0}_{mi}\right]h^{\alpha\mu}x^m_\mu$，以及 $f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)} = \frac{1}{2}(C^{\beta}_{mji} - C^{\beta}_{mij})h^{\alpha\mu}x^m_\mu$。
• 在 $RGOGML^{n}_{p}$ 上的麦克斯韦方程组被推导为包含协变导数与曲率项的四个方程系统，包括类比贝亚希恒等式与无源条件。
• 通过多时间框架下爱因斯坦型方程的散度自由条件，确立了应力-能量d-张量的守恒律。
• d-曲率分量 $R^{(\alpha)}_{(i)\beta}$ 与 $R^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ 以联络系数与度量分量表示，确保与相对论场论的一致性。
• 当 $p=1$ 时，该系统退化为已知的相对论性光学，证实当限制于单个时间坐标时，与辛格原始表述一致。