[论文解读] Torsions and Curvatures on Jet Fibre Bundle J^1(T,M)

Mircea Neagu, Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过引入 $̳$-线性联络，发展了 1-阶纤维丛 $J^1(T,M)$ 的微分几何，推导出 d-挠率与 d-曲率张量的局部表达式，并通过 Ricci 与 Bianchi 恒等式建立了二者之间的相互依赖关系。此外，本文还引入了从 $T \times M$ 到 $J^1(T,M)$ 的向量场的几何喷射，推广了 Olver 的方法，使用适配基与非线性联络。

ABSTRACT

The paper introduces the notion of Γ-linear connection abla on the 1-jet fibre bundle J^1(T,M), and presents its local components. We also describe the local Ricci and Bianchi identities of $ abla$.

研究动机与目标

• 建立 $̳$-线性联络在 1-阶纤维丛 $J^1(T,M)$ 上的全面框架，将经典联络推广至喷射空间。
• 推导与 $̳$-线性联络相关的 d-挠率与 d-曲率张量的显式局部分量。
• 通过 Ricci 与 Bianchi 恒等式研究挠率与曲率张量之间的非独立性。
• 利用适配基与 $̳$-线性联络，形式化从 $T \times M$ 到 $J^1(T,M)$ 的向量场的几何喷射。
• 提出将张量与联络从 $T \times M$ 延拓至 $J^1(T,M)$ 的广义问题，为未来研究奠定基础。

提出的方法

• 使用适配基 $\left\{ \frac{\delta}{\delta t^\alpha}, \frac{\delta}{\delta x^i}, \frac{\partial}{\partial x^i_\alpha} \right\}$ 及其对偶余基 $\{dt^\alpha, dx^i, \delta x^i_\alpha\}$ 在 $J^1(T,M)$ 上将向量场与余向量场分解为水平（时间、空间）与垂直分量。
• 通过九个局部分量定义 $̳$-线性联络 $\nabla$：$\bar{G}^\alpha_{\beta\gamma}, G^k_{i\gamma}, G^{(k)(\beta)}_{(\alpha)(i)\gamma}, \bar{L}^\alpha_{\beta j}, L^k_{ij}, L^{(k)(\beta)}_{(\alpha)(i)j}, \bar{C}^{\alpha(\gamma)}_{\beta(k)}, C^{j(\gamma)}_{i(k)}, C^{(k)(\beta)(\gamma)}_{(\alpha)(i)(k)}$。
• 通过联络在适配基上的作用，推导出具有十二个分量的 d-挠率张量与具有十八个分量的 d-曲率张量。
• 应用 Ricci 与 Bianchi 恒等式，证明 d-挠率与 d-曲率分量之间存在非独立性，从而减少自由分量的数量。
• 通过公式 $Y^{(i)}_{(\alpha)} = X^i_{/\alpha} + X^i_{|j}x^j_\alpha - X^\beta_{/\alpha}x^i_\beta - X^\beta_{|j}x^j_\alpha x^i_\beta + X^\mu(M^{(i)}_{(\alpha)\mu} + \bar{G}^\beta_{\mu\alpha}x^i_\beta + \bar{L}^\beta_{\mu j}x^j_\alpha x^i_\beta) - X^m(N^{(i)}_{(\alpha)m} + G^i_{m\alpha} + L^i_{mj}x^j_\alpha)$ 引入向量场的几何喷射。
• 通过将全导数表示为 $D_\alpha f = \frac{\delta f}{\delta t^\alpha} + \frac{\delta f}{\delta x^i}x^i_\alpha$，将几何喷射与 Olver 的经典全导数方法统一。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 1-阶纤维丛 $J^1(T,M)$ 上局部表示 $̳$-线性联络，其分量的变换规律是什么？
• RQ2 与 $̳$-线性联络相关的 d-挠率与 d-曲率张量的完整局部分量结构是什么？
• RQ3 Ricci 与 Bianchi 恒等式如何约束 d-挠率与 d-曲率的分量？其非独立性的程度如何？
• RQ4 如何利用适配基与 $̳$-线性联络，将 $T \times M$ 上向量场的经典喷射重新表述为几何形式？
• RQ5 如何构建从 $T \times M$ 到 $J^1(T,M)$ 延拓张量、1-形式与 $G$-结构的一般框架，其推广范围是否超越向量场？

主要发现

• 在 $J^1(T,M)$ 上的 $̳$-线性联络由九个局部分量完全确定，这些分量在坐标与适配基变换下具有协变变换性质。
• d-挠率张量具有十二个独立分量，源于联络在适配基向量上的非对称作用。
• d-曲率张量具有十八个独立分量，源于在适配标架中协变导数的对易子。
• Ricci 与 Bianchi 恒等式表明，d-挠率与 d-曲率的分量并非全部独立，从而减少了自由参数的数量。
• 在 $T \times M$ 上的向量场 $X$ 的几何喷射为 $pr^{(1)}X = X^\alpha \frac{\delta}{\delta t^\alpha} + X^i \frac{\delta}{\delta x^i} + Y^{(i)}_{(\alpha)} \frac{\partial}{\partial x^i_\alpha}$，其中 $Y^{(i)}_{(\alpha)}$ 以联络分量与全导数表示。
• 当联络分量设为零时，几何喷射公式退化为 Olver 的经典结果，确认了与已有喷射理论的一致性。