[论文解读] The (Generalized) Orthogonality Dimension of (Generalized) Kneser Graphs: Bounds and Applications

Alexander Golovnev, Ishay Haviv|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 39被引用 2

一句话总结

该论文首次建立了关于实数域上图的正交维数近似问题的NP难性结果，表明难以区分正交维数至多为t与至少为3t/2 − c的情况，其中c为某常数且t足够大。此外，论文进一步构造了在二元域上具有正交维数至多为n^{1−δ}（δ > 0）的显式无三角形n阶图，从而在所有有限域上否定了奇交替圈猜想，并通过广义Kneser图的minrank界推进了电路复杂度研究。

ABSTRACT

The orthogonality dimension of a graph $G=(V,E)$ over a field $\mathbb{F}$ is the smallest integer $t$ for which there exists an assignment of a vector $u_v \in \mathbb{F}^t$ with $\langle u_v,u_v angle eq 0$ to every vertex $v \in V$, such that $\langle u_v, u_{v'} angle = 0$ whenever $v$ and $v'$ are adjacent vertices in $G$. The study of the orthogonality dimension of graphs is motivated by various applications in information theory and in theoretical computer science. The contribution of the present work is two-fold. First, we prove that there exists a constant $c$ such that for every sufficiently large integer $t$, it is $\mathsf{NP}$-hard to decide whether the orthogonality dimension of an input graph over $\mathbb{R}$ is at most $t$ or at least $3t/2-c$. At the heart of the proof lies a geometric result, which might be of independent interest, on a generalization of the orthogonality dimension parameter for the family of Kneser graphs, analogously to a long-standing conjecture of Stahl (J. Comb. Theo. Ser. B, 1976). Second, we study the smallest possible orthogonality dimension over finite fields of the complement of graphs that do not contain certain fixed subgraphs. In particular, we provide an explicit construction of triangle-free $n$-vertex graphs whose complement has orthogonality dimension over the binary field at most $n^{1-δ}$ for some constant $δ>0$. Our results involve constructions from the family of generalized Kneser graphs and they are motivated by the rigidity approach to circuit lower bounds. We use them to answer a couple of questions raised by Codenotti, Pudlák, and Resta (Theor. Comput. Sci., 2000), and in particular, to disprove their Odd Alternating Cycle Conjecture over every finite field.

研究动机与目标

• 建立图在实数域上正交维数近似问题的计算困难性。
• 通过分析有限域上广义Kneser图的minrank与正交维数，解决电路复杂度中的开放问题。
• 通过构造具有低minrank且无短奇圈的显式图，否定所有有限域上的奇交替圈猜想。

提出的方法

• 证明了关于Kneser图广义正交维数的几何结果，其与Stahl猜想类似。
• 利用有限域上的对称矩阵表示，通过二项式系数和的组合界，界定了广义Kneser图K<(d, d/2, m)的minrank。
• 应用Lempel的一个结果，表明在F2上低秩的对称矩阵可导出低维正交表示。
• 利用二项式熵函数H(p)界定了大小至多为d/2 − m的子集数量，从而实现次线性minrank界。
• 通过在K<(d, d/2, m)中取m = d/(2ℓ)，构造出无长度≤ℓ的奇圈的图，确保交集性质稀疏。
• 利用图G与其补图之间minrank的对偶性，从minrank(G)的上界推导出minrank(G)的下界，从而证明向量色数与minrank之间的分离性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在实数域上，是否难以在优于4/3的因子内近似图的正交维数？
• RQ2 能否在F2上找到显式构造的无三角形图，使其正交维数显著亚线性于n？
• RQ3 奇交替圈猜想是否在所有有限域上成立，特别是在minrank与正交维数的语境下？
• RQ4 广义Kneser图K<(d, s, m)在有限域上的minrank的最紧上界为何？
• RQ5 即使向量色数有界，能否证明图的向量色数与minrank之间存在分离？

主要发现

• 对于某个常数c及所有充分大的t，难以判定实数域上图的正交维数是否至多为t，或至少为3t/2 − c。
• 对每个奇整数ℓ ≥ 3，存在δ = δ(ℓ) > 0，使得对所有充分大的n，存在一个n阶无三角形图G，其在每个有限域F上满足minrkF(G) ≤ n^{1−δ}。
• Codenotti、Pudlák与Resta的奇交替圈猜想在所有有限域上被否定，因为存在显式构造的无短奇圈且minrank较低的图。
• 对于广义Kneser图K<(d, d/2, d/8)，其在任意有限域上的minrank至多为2^{H(3/8)·d} = o(n)，其中n = (d choose d/2)，这意味着minrank(G) ≤ n^{1−δ}（δ < 1 − H(3/8)）。
• K<(d, d/2, d/8)的向量色数至多为3，但其minrank为o(n)，展示了向量色数与minrank之间存在超常数分离。
• 此类图的补图的minrank至少为n^δ（δ < 1 − H(3/8)），表明在此构造中minrank与其补图之间具有强对偶性。