[论文解读] The geometric measure of entanglement of pure states with nonnegative amplitudes and the spectral theory of nonnegative tensors

Shenglong Hu, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 21被引用 17

一句话总结

本文建立了具有非负振幅的纯量子态的几何纠缠度量与非负张量谱理论之间的直接联系，表明几何纠缠度量等于其对应对称张量的Z-谱半径。针对量子比特和量子三态（qutrit）态，提出了分析性消去方法；针对量子多态（qudit）态，提出了一种随机收敛算法，从而通过张量特征值理论实现高效计算。

ABSTRACT

The geometric measure of entanglement for a symmetric pure state with nonnegative amplitudes has attracted much attention. On the other hand, the spectral theory of nonnegative tensors (hypermatrices) has been developed rapidly. In this paper, we show how the spectral theory of nonnegative tensors can be applied to the study of the geometric measure of entanglement for a pure state with nonnegative amplitudes. Especially, an elimination method for computing the geometric measure of entanglement for symmetric pure multipartite qubit or qutrit states with nonnegative amplitudes is given. For symmetric pure multipartite qudit states with nonnegative amplitudes, a numerical algorithm with randomization is presented and proven to be convergent. We show that for the geometric measure of entanglement for pure states with nonnegative amplitudes, the nonsymmetric ones can be converted to the symmetric ones.

研究动机与目标

• 将具有非负振幅的量子态的几何纠缠度量与非负张量谱理论相连接。
• 为具有非负振幅的对称与非对称纯态的几何纠缠度量开发分析与数值方法。
• 证明此类态的几何纠缠度量等于其关联非负张量的Z-谱半径。
• 为具有非负振幅的对称多体量子多态（qudit）态建立一种收敛的随机化算法以计算几何纠缠度量。
• 证明具有非负振幅的非对称态可经变换转化为对称态，以用于计算目的。

提出的方法

• 将几何纠缠度量定义为与可分态之间的最小距离，等价于态的振幅张量的最大奇异值。
• 证明对于具有非负振幅的对称纯态，其几何纠缠度量等于对应非负对称张量的Z-谱半径。
• 提出一种基于多项式系统求解的变量消去方法，以解析计算对称量子比特和量子三态态的几何纠缠度量。
• 开发一种基于位移高阶幂法的随机数值算法，初始值取自正象限与单位球面的交集。
• 证明该算法以正概率收敛，其收敛性依赖于最大与次大非负Z-特征值之间的谱间隙。
• 证明具有非负振幅的非对称态可通过变换实现对称化，从而可应用对称态的计算方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用非负张量的谱理论来计算具有非负振幅的纯量子态的几何纠缠度量？
• RQ2 非负张量的Z-谱半径与对应对称量子态的几何纠缠度量之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否为具有非负振幅的对称多体量子三态（qutrit）态推导出一种分析方法以计算其几何纠缠度量？
• RQ4 在何种条件下可确保用于计算对称量子多态（qudit）态几何纠缠度量的随机数值算法收敛？
• RQ5 在多体纠缠度量计算中，具有非负振幅的非对称纯态在多大程度上可被简化为对称情形？

主要发现

• 对于具有非负振幅的对称纯态，其几何纠缠度量等于对应非负对称张量的Z-谱半径。
• 为对称多体量子比特和量子三态态提供了分析性消去方法，为量子三态情形提供了新推导。
• 针对具有非负振幅的对称多体量子多态（qudit）态，提出了一种随机数值算法，并证明其以正概率收敛。
• 该算法的收敛概率由底层张量的最大与次大非负Z-特征值之间的谱间隙决定。
• 具有非负振幅的非对称纯态可通过变换转化为对称态，从而可应用对称态的计算方法。
• 对于具有非负振幅的非对称态，其振幅张量的最大奇异值对应于几何纠缠度量。