[论文解读] The Geometric Satake Correspondence for Ramified Groups

Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文为在某个可分次可分扩张下分裂的 F = k((t)) 上的李群建立了几何 Satake 对应，证明了仿射旗流形上的 Kv-等变 perverse 线丛范畴与 Langlands 对偶群的伽罗瓦不变部分的表示的张量范畴之间的等价关系。关键结果在有 ramification 的情形下对 Satake 同构进行了范畴化，将几何 Satake 对应从无 ramification 的情形推广到了有 ramification 的情形，并通过局部模型使该理论在 Shimura 簇的邻近上同调计算中得以应用。

ABSTRACT

We prove the geometrical Satake isomorphism for a reductive group defined over F=k((t)), and split over a tamely ramified extension. As an application, we give a description of the nearby cycles on certain Shimura varieties via the Rapoport-Zink-Pappas local models.

研究动机与目标

• 将几何 Satake 对应推广到在 F = k((t)) 上 ramified 但可在一个可分次可分扩张下分裂的李群。
• 从 (H∨)I 的表示到仿射旗流形 Fℓv 上的 Kv-等变 perverse 线丛范畴构造一个张量函子。
• 在 ramified 情形下建立 Satake 同构的范畴化，将 unramified 情形推广到 parahoric 层次结构。
• 通过将该对应应用于 Shimura 簇的邻近上同调，利用 Rapoport-Zink-Pappas 局部模型进行计算。

提出的方法

• 将仿射旗流形 Fℓv = LG/Kv 定义为 k 上的 ind-概形，其中 Kv = L+Gv 是一个 parahoric 李群概形 Gv 的喷射空间。
• 构造一个从 (H∨)I 的表示到 Fℓv 上 Kv-等变 perverse 线丛范畴 Pv 的函子 Z。
• 证明函子 Z 是张量函子，并诱导出张量范畴的等价关系 RS: Rep((H∨)I) ≃ Pv。
• 利用上同调函子 H∗ 将 RS 的像与遗忘函子识别，从而确立几何 Satake 等价关系。
• 利用伽罗瓦群 I = Gal(Fs/F) 在 H∨ 上的作用，将 (H∨)I 定义为伽罗瓦作用下的不变子群。
• 通过将局部模型的几何与 Schubert 流形上的交上同调层联系起来，将该对应应用于 Shimura 簇的邻近上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将几何 Satake 对应推广到在 F = k((t)) 上 ramified 但可在可分次可分扩张下分裂的李群？
• RQ2 在 ramified 情形下，应使用何种几何对象（如仿射旗流形）和对称结构（如 parahoric 子群）来捕捉 Satake 同构？
• RQ3 伽罗瓦群在 Langlands 对偶群 H∨ 上的作用如何在仿射旗流形上的 perverse 线丛范畴中体现？
• RQ4 能否利用几何 Satake 对应通过局部模型来描述 Shimura 簇的邻近上同调？
• RQ5 当约化李群不同时（如 Fℓv0 与 Fℓv1），不同旗流形中 Schubert 流形的交上同调之间存在何种关系？

主要发现

• 仿射旗流形 Fℓv 上的 Kv-等变 perverse 线丛范畴 Pv 自然地具有张量结构。
• 存在张量等价关系 RS: Rep((H∨)I) ≃ Pv，其中 (H∨)I 是 Langlands 对偶群 H∨ 的伽罗瓦不变部分。
• 上同调函子 H∗ ∘ RS 同构于遗忘函子，从而在 ramified 情形下确认了几何 Satake 对应。
• 该对应在 ramified 群的情形下对 Satake 同构 (0.1) 实现了范畴化，推广了 unramified 情形。
• 即使流形本身不同（如一个为 Gorenstein，另一个为光滑），不同旗流形（如 Fℓv0 与 Fℓv1）中 Schubert 流形的交上同调仍给出相同的约化李群表示。
• 该结果使得可通过 Rapoport-Zink-Pappas 局部模型来描述某些 Shimura 簇的邻近上同调，从而将算术几何与表示理论联系起来。