[论文解读] The Geometry Of Higher-Order Hamilton Spaces; Applications to Hamiltonian Mechanics

Radu Miron|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 64被引用 18

一句话总结

本文研究了高阶哈密顿空间的微分几何，将黎曼和芬斯勒几何推广至k阶切丛与余切丛。文章引入了余切丛T*kM上的典范非线性联络、度量N-线性联络以及泊松结构，实现了高阶哈密顿力学与相对论光学的几何表述，并应用于变分问题与守恒定律。

ABSTRACT

The book can be divided in three parts: the Lagrange geometry of order $k$, presented in the first three chapters, the geometrical theory of the dual manifolds $T^{*k}M$ - chapters 4-7 and the geometry of Hamilton spaces of order $k$ and their subspaces, contained in the last four chapters. They are studied directly and as 'dual' geometry, via Legendre transformation.

研究动机与目标

• 通过k-喷射丛的微分几何，将哈密顿力学推广至高阶（k阶）系统。
• 发展余丛T*kM的几何，包括典范泊松结构与非线性联络。
• 建立k阶哈密顿量的变分框架，包括哈密顿-雅可比方程与守恒定律。
• 将芬斯勒与嘉当几何推广至高阶空间，特别应用于相对论光学与场论。
• 引入典范度量N-线性联络，并研究其在高阶情形下的曲率与挠率。

提出的方法

• 构建以基流形M为底的k-切丛TkM及其对偶T*kM，赋予其自然几何结构。
• 引入k-半喷射与对偶半喷射，作为测地线喷射的高阶类比，通过垂直分布定义非线性联络。
• 在T*kM上定义d-张量场与N-线性联络，采用适配局部基与协变导数以进行几何分析。
• 利用典范1-形式与辛形式推导T*kM上的典范泊松结构，从而实现哈密顿动力学。
• 将变分法应用于k阶哈密顿量，推导哈密顿-雅可比方程与策默罗条件。
• 构造典范度量N-线性联络，并利用适配标架研究其曲率、挠率与结构方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在k阶余切丛T*kM上系统地发展高阶哈密顿空间的几何？
• RQ2 T*kM上的典范非线性与度量N-线性联络是什么？它们与哈密顿结构有何关系？
• RQ3 变分原理与守恒定律在高阶哈密顿系统中如何推广？
• RQ4 典范泊松结构在表述高阶哈密顿动力学中起什么作用？
• RQ5 如何对高阶芬斯勒与嘉当空间进行对偶化，并应用于相对论光学与场论？

主要发现

• 本文利用对偶k-半喷射在T*kM上构造了典范非线性联络，推广了经典一阶力学中的非线性联络。
• 证明了在k阶哈密顿空间上存在典范度量N-线性联络，并从哈密顿量显式导出了其局部系数。
• 表明T*kM上的典范泊松结构是非退化的，且在李乌维勒向量场下保持不变，从而支持哈密顿动力学。
• 推导了k阶哈密顿量的哈密顿-雅可比方程，推广了经典的一阶情形。
• 建立了高阶能量Ek−1(H)的守恒定律，表明当哈密顿量为自治时能量守恒。
• 本文提供了基于k阶广义哈密顿空间的相对论光学几何表述，将其与电磁场及芬斯勒型度量联系起来。