[论文解读] The Geometry of Jordan Matrix Models

Michael Rios|ArXiv.org|Mar 8, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文确立了例外约当代数矩阵模型——特别是例外三次矩阵模型和 $E_6$ 矩阵模型——会生成推广了洛伦兹几何与扭量几何的非结合几何。通过分析例外约当代数 $χ_3(\mathbb{O})$ 和例外 $C^*$-代数 $χ_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$ 所关联的射影空间，本文揭示了这些模型产生了射影扭量空间的例外版本，暗示了存在与八元数矩阵模型对偶的例外扭量弦理论。

ABSTRACT

We elucidate the geometry of matrix models based on simple formally real Jordan algebras. Such Jordan algebras give rise to a nonassociative geometry that is a generalization of Lorentzian geometry. We emphasize constructions for the exceptional Jordan algebra and the exceptional Jordan C*-algebra and describe the projective spaces related to the exceptional cubic matrix model and the E_6 matrix model. The resulting projective spaces are shown to be exceptional versions of projective twistor space, thus revealing the existence of exceptional twistor string theories that are dual to octonionic matrix models.

研究动机与目标

• 探索基于简单形式实约当代数的矩阵模型的几何结构，特别是例外约当代数 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$。
• 利用约当代数，特别是八元数与双八元数矩阵模型的语境，将洛伦兹几何推广至非结合几何。
• 将例外三次矩阵模型与 $E_6$ 矩阵模型所关联的射影空间识别为射影扭量空间的例外类比。
• 通过 $χ_3(\mathbb{O})$ 与 $χ_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$ 的几何，建立八元数矩阵模型与例外扭量弦理论之间的对偶性。
• 研究 $SL(2,\mathbb{O})$ 与 $E_6$ 在这些推广的扭量几何中作为共形群与等距群的作用。

提出的方法

• 本文采用约当代数的形式体系，特别是约当积 $a \circ b = \frac{1}{2}(ab + ba)$，从实数、复数、四元数与八元数上的厄米特矩阵定义非结合代数。
• 利用定义 2.2.2，通过 $χ_{n+1}(\mathbb{K})$ 中的秩一投影定义射影空间 $\mathbb{KP}^n$，从而在八元数上实现一致的几何解释。
• 通过 $χ_3(\mathbb{O})$ 的 27 维 $E_6$ 表示，分析例外三次矩阵模型，光锥几何通过弗鲁德施泰尔积与迹条件定义。
• 对于 $E_6$ 矩阵模型，其作用通过 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$ 上的陈-西蒙斯型三次形式 $S = f_{ijk} c(\Omega^{[i}, \rho \circ \Omega^j, \rho^2 \circ \Omega^{k]}$ 定义，其中 $\Omega^\mu$ 为双八元数上的 $3 \times 3$ 矩阵。
• 过渡概率 $\Pi_{1,2} = \mathrm{tr}(\Omega^1 \circ \Omega^2)$ 用于定义复马乌尔夫平面 $(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})\mathbb{P}^2$ 中的距离，该距离在 $E_6$ 下不变。
• 本文识别出 $PSL(2,\mathbb{O})$ 为作用于 $\mathbb{OP}^1$ 的共形群，并提出一个具有双八元数旋量的拓扑 B 模型的推广目标空间 $\mathbb{OP}^{1|2}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 约当代数，特别是例外约当代数 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$，如何在矩阵模型中推广洛伦兹几何？
• RQ2 与例外三次矩阵模型相关的射影空间 $\mathbb{OP}^2$ 的几何结构是什么？
• RQ3 $E_6$ 矩阵模型基于 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$ 如何与复马乌尔夫平面 $(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})\mathbb{P}^2$ 相关联？
• RQ4 $E_6$ 矩阵模型能否被解释为具有目标空间 $\mathbb{OP}^{1|2}$ 的拓扑弦理论，双八元数旋量在此中起什么作用？
• RQ5 等距群 $E_6$ 在保持复马乌尔夫平面几何及其与扭量弦理论关系中的意义是什么？

主要发现

• 基于 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$ 的例外三次矩阵模型产生了一类非结合几何，推广了洛伦兹几何，其光锥结构构成射影扭量空间的例外版本。
• 与 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$ 关联的射影空间 $\mathbb{OP}^2$ 被证明是扭量空间的例外类比，支持了例外扭量弦理论的存在。
• $E_6$ 矩阵模型基于 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$，描述了一类将闵可夫斯基空间推广至双八元数设定的非结合几何，$E_6$ 为其等距群。
• 过渡概率 $\Pi_{1,2} = \mathrm{tr}(\Omega^1 \circ \Omega^2)$ 在 $E_6$ 下不变，确认了复马乌尔夫平面 $(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})\mathbb{P}^2$ 的几何一致性。
• BFSS 矩阵模型被嵌入 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$ 中，其动力学在 $\mathbb{OP}^1$ 上描述，暗示其与 $\mathbb{OP}^{1|2}$ 上的拓扑 B 模型存在对偶性。
• 本文识别出 $SL(2,\mathbb{O})$ 为作用于 $\mathbb{OP}^1$ 的共形群，并提出 $E_6$ 模型可能描述具有目标空间 $\mathbb{OP}^{1|2}$ 的推广扭量弦理论。