[论文解读] The Geometry of Metrical Multi-time Lagrange Spaces

Mircea Neagu, Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文在 1-喷丛 $J^1(T,M)$ 上引入了度量多时间拉格朗日空间，通过将时间视为相对论性、多维参数，推广了时变拉格朗日几何。它证明了规范 Cartan 连接的存在性与唯一性，推导出其挠率与曲率 d-张量，并表明在自治电磁理论模型中，仅时间度量与空间度量的曲率张量保留，为多时间场论提供了几何框架。

ABSTRACT

A geometrization of a Kronecker $h$-regular multi-time Lagrangian function with partial derivatives of order one is described, in the sense of d-connections, d-torsions and d-curvatures.

研究动机与目标

• 通过用 $p$-维时间流形 $T$ 取代绝对时间，推广时变拉格朗日几何。
• 利用 1-喷丛 $J^1(T,M)$ 作为配置空间，为多时间拉格朗日量建立几何框架。
• 定义度量多时间拉格朗日空间 $ML^n_p = (J^1(T,M), L)$，并通过拉格朗日量 $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$ 描述其几何结构。
• 通过拉格朗日量自然构造规范非线性联络 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$。
• 证明规范 Cartan 连接 $C\Gamma$ 的存在性与唯一性，并分析其挠率与曲率 d-张量。

提出的方法

• 利用 $J^1(T,M)$ 上的克罗内克 $h$-正则拉格朗日量 $L$ 定义度量多时间拉格朗日空间 $ML^n_p$，其中时间流形 $T$ 上具有半黎曼度量 $h_{\alpha\beta}(t)$。
• 引入拉格朗日密度 $\mathcal{L^{} = L\sqrt{|h|}}$ 以确保在 $J^1(T,M) \to T \times M$ 的扩展规范群作用下的几何不变性。
• 通过拉格朗日量构造规范非线性联络 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$，为 $J^1(T,M)$ 的切丛提供几何分裂。
• 利用度量结构与非线性联络，证明在任意度量多时间拉格朗日空间 $ML^n_p$ 上，规范 Cartan 连接 $C\Gamma$ 的存在性与唯一性。
• 通过包含联络系数、度量张量及 $h_{\alpha\beta}$ 与 $g_{ij}$ 的曲率分量的局部分量，推导 $C\Gamma$ 的挠率与曲率 d-张量。
• 以分量 $R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)\beta\gamma}$、$R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)\beta k}$、$R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)jk}$ 表达 $C\Gamma$ 的曲率 d-张量 $R$，并分析其对 $H^\gamma_{\mu\alpha\beta}$ 与 $r^m_{ijk}$ 的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将时变拉格朗日几何推广以容纳一个相对论性、多维的时间流形 $T$？
• RQ2 在 $J^1(T,M)$ 上，由度量多时间拉格朗日量 $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$ 所诱导的规范非线性联络 $\Gamma$ 是什么？
• RQ3 对于度量多时间拉格朗日空间 $ML^n_p$，是否存在唯一的规范 Cartan 连接 $C\Gamma$？其挠率与曲率性质如何？
• RQ4 规范 Cartan 连接 $C\Gamma$ 的曲率 d-张量如何分解为时间度量 $h_{\alpha\beta}$ 与空间度量 $g_{ij}$ 的曲率张量？
• RQ5 在自治情形（如电磁理论）中，当 $g_{ij}$ 与时间无关时，挠率与曲率 d-张量会发生什么变化？

主要发现

• 规范非线性联络 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$ 由拉格朗日量 $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$ 唯一确定，为 $J^1(T,M)$ 的切丛提供了几何分裂。
• 对于任意度量多时间拉格朗日空间 $ML^n_p$，规范 Cartan 连接 $C\Gamma$ 存在且唯一，确保了几何结构的一致性。
• 在自治电磁理论情形（$g_{ij} = g_{ij}(x^k)$）中，所有挠率 d-张量为零，除以下非零项：$R^{(m)}_{(\mu)\alpha\beta} = -H^\gamma_{\mu\alpha\beta}x^m_\gamma$，$R^{(m)}_{(\mu)\alpha j} = -\frac{h_{\mu\eta}g^{mk}}{4}\left[H^\eta_{\alpha\gamma}U^{(\gamma)}_{(k)j} + \frac{\partial U^{(\eta)}_{(k)j}}{\partial t^\alpha}\right]$，以及 $R^{(m)}_{(\mu)ij} = r^m_{ijk}x^k_\mu + \frac{h_{\mu\eta}g^{mk}}{4}\left[U^{(\eta)}_{(k)i|j} + U^{(\eta)}_{(k)j|i}\right]$。
• 规范 Cartan 连接 $C\Gamma$ 的曲率 d-张量 $R$ 可分解为涉及 $H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$（$h_{\alpha\beta}$ 的曲率）、$R^l_{i\beta\gamma}$、$R^l_{i\beta k}$ 与 $R^l_{ijk} = r^l_{ijk}$（$g_{ij}$ 的曲率）的分量，$p=1$ 与 $p\geq 2$ 情形的完整表达式均已给出。
• 当 $p=1$ 时，曲率分量通过 $G^l_{i\alpha}$、$L^l_{ik}$ 与 $C^{l(1)}_{i(m)}$ 的协变导数表示；当 $p\geq 2$ 时，其依赖于 $H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$、$R^l_{i\beta\gamma}$、$R^l_{i\beta k}$ 与 $R^l_{ijk}$。
• 在自治电磁理论情形中，唯一非零的曲率 d-张量为 $H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$ 与 $R^l_{ijk} = r^l_{ijk}$，证实几何结构退化为时间与空间度量的曲率。