[论文解读] The geometry of relative Cayley graphs for subgroups of hyperbolic groups

Ilya Kapovich|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 49被引用 6

一句话总结

本文证明了当 H 是词超曲群 G 的拟凸子群时，相对Cayley图 Γ(G/H, A) 是Gromov-超曲的。通过将正则树拟等距嵌入相对Cayley图，本文建立了当 H 在 G 中具有无限指数时，该图在简单对称随机游走下是瞬态的。该结果证实了Gromov的断言，并扩展了对超曲群中子群结构的几何与概率理解。

ABSTRACT

We show that if H is a quasiconvex subgroup of a hyperbolic group G then the relative Cayley graph Y (also known as the Schreier coset graph) for G/H is Gromov-hyperbolic. We also observe that in this situation if G is torsion-free and non-elementary and H has infinite index in G then the simple random walk on Y is transient.

研究动机与目标

• 建立词超曲群 G 的拟凸子群 H 的相对Cayley图 Γ(G/H, A) 的超曲性。
• 研究当 H 在 G 中具有无限指数时，相对Cayley图上简单对称随机游走的随机行为。
• 阐明陪集图的几何与拓扑性质，特别是其与端点和子群分离性的关系。
• 为相对Cayley图的超曲性提供严格的理论基础，解决Gromov著作中的一个断言。

提出的方法

• 将相对Cayley图 Γ(G/H, A) 构造为 G 的展示复形中对应于 H 的覆盖空间的1-骨架。
• 利用拟凸子群在 G 中拟等距嵌入的事实，将 Γ(G, A) 中的距离与 Γ(G/H, A) 中的距离关联起来。
• 通过 H2 = H ∗ F(a,b) 中的自由积结构，建立正则二叉树到相对Cayley图 Y = Γ(G/H, A) 的拟等距嵌入。
• 利用正则树在简单对称随机游走下的瞬态性，并借助拟等距不变性，推导出 Y 的瞬态性。
• 应用 Arzhantseva 关于无限指数拟凸子群的结果，构造生成与 H 自由积的元素。
• 利用词度量估计与测地线比较，通过 G 中的词度量与 F(a,b) 中自由基度量来界定 Y 中的距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 H 是词超曲群 G 的拟凸子群时，相对Cayley图 Γ(G/H, A) 是否是Gromov-超曲的？
• RQ2 在何种条件下，简单对称随机游走在 Γ(G/H, A) 上是瞬态的？
• RQ3 Γ(G/H, A) 的几何结构如何与子群 H 在 G 中的指数和结构相关？
• RQ4 相对Cayley图的超曲性能否在不依赖相对超曲性概念的前提下独立建立？
• RQ5 自由子群在诱导相对Cayley图瞬态性方面起什么作用？

主要发现

• 当 H 是词超曲群 G 的拟凸子群时，相对Cayley图 Γ(G/H, A) 是Gromov-超曲的。
• 若 G 是无挠的、非初等的，且 H 在 G 中具有无限指数，则简单对称随机游走在 Γ(G/H, A) 上是瞬态的。
• 当 H 具有无限指数时，图 Γ(G/H, A) 包含一个拟等距嵌入的正则二叉树。
• 相对Cayley图允许一个自由群 F(a,b) 的拟等距嵌入，其标准词度量在距离上保持一致常数。
• 相对Cayley图的瞬态性源于嵌入树的瞬态性以及瞬态性的拟等距不变性。
• 该结果证实了Gromov 1987年著作中未加证明的断言，提供了严格的证明并扩展了其适用范围。