[论文解读] The Goldman-Turaev Lie bialgebra and the Kashiwara-Vergne problem in higher genera

Anton Alekseev, Nariya Kawazumi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 10

一句话总结

该论文通过在高亏格情形引入推广的 Kashiwara-Vergne (KV) 问题，建立了任意亏格 $g$ 的紧致定向曲面（具有 $n+1$ 个边界分量）上 Goldman-Turaev 李双代数的正式性。证明了存在一个李双代数同态 $ heta: \\mathfrak{g}(\Sigma) \to \\mathrm{gr}\,\\mathfrak{g}(\Sigma)$ 满足 $\\mathrm{gr}\,\theta = \\mathrm{id}$ 当且仅当某个元素 $F \in \\mathrm{Aut}(L)$ 解决了高亏格 KV 问题。对于 $g=0, n=2$（经典 KV）和 $g=1, n=0$ 的情形，利用椭圆关联器构造了解，从而对所有 $g$ 和 $n$ 建立了正式性，除了在亏格一中某些框架下正式性不成立。

ABSTRACT

For a compact oriented surface $Σ$ of genus $g$ with $n+1$ boundary components, the space $\mathfrak{g}(Σ)$ spanned by free homotopy classes of loops in $Σ$ carries the structure of a Lie bialgebra equipped with a natural decreasing filtration, whose structure morphisms are called the Goldman bracket and the (framed) Turaev cobracket. We address the following Goldman-Turaev (GT) formality problem: construct a Lie bialgebra homomorphism $θ$ from $\mathfrak{g}(Σ)$ to its associated graded ${ m gr}\, \mathfrak{g}(Σ)$ such that ${ m gr} \, θ= { m id}$. In order to solve it, we define a family of higher genus Kashiwara-Vergne (KV) problems for an element $F\in { m Aut}(L)$, where $L$ is a free Lie algebra. In the case of $g=0$ and $n=2$, it is the classical KV problem from Lie theory. For $g>0$, these KV problems are new. We show that an element $F$ induces a GT formality map if and only if it is a solution of the KV problem. A crucial step in solving the higher genus KV problem is to construct solutions for the case of $g=1$ and $n=1$ in terms of certain elliptic associators following Enriquez. By solving the KV problem, we establish the GT formality for every $g$ and $n$, with the exception of some framings for $g=1$ in which case the GT formality actually does not hold. Furthermore, we introduce pro-unipotent groups ${ m KV}$ and ${ m KRV}$ which act on the space of solutions of the KV problem freely and transitively. There are injective maps ${ m GT}_1 o { m KV}, { m GRT}_1 o { m KRV}$ from Grothendieck-Teichmüller groups. As an application, we show that the Johnson obstruction given by the Turaev cobracket coincides with the one given by the Enomoto-Satoh trace. As part of our study, we prove a uniqueness theorem for non-commutative divergence cocycles on the group algebra of a free group which is of independent value.

研究动机与目标

• 将经典 Kashiwara-Vergne 问题从亏格零推广到具有边界的高亏格曲面。
• 为每个带框架的、定向的、亏格为 $g$ 且具有 $n+1$ 个边界分量的曲面定义一个推广的 KV 问题。
• 建立高亏格 KV 问题的解与 Goldman-Turaev 李双代数的同态展开（正式性映射）之间的对应关系。
• 利用椭圆关联器构造 $g=1, n=0$ 情形的解，从而完成除亏格一中某些例外框架外的所有 $g$ 和 $n$ 的正式性证明。
• 引入拟幂零群 $\\mathrm{KV}$ 和 $\\mathrm{KRV}$，它们在 KV 问题的解空间上自由且可递地作用。

提出的方法

• 在亏格为 $g$ 且具有 $n+1$ 个边界分量的曲面 $\Sigma$ 的自由同伦类环路上引入一个过滤李双代数结构 $\\mathfrak{g}(\Sigma)$。
• 为 $F \in \\mathrm{Aut}(L)$ 定义一个推广的 Kashiwara-Vergne 问题，其中 $L$ 是自由李代数，将经典 KV 问题推广到高亏格情形。
• 证明存在一个李双代数同态 $\theta: \\mathfrak{g}(\Sigma) \to \\mathrm{gr}\,\\mathfrak{g}(\Sigma)$ 满足 $\\mathrm{gr}\,\theta = \\mathrm{id}$ 当且仅当 $F$ 解决了高亏格 KV 问题。
• 通过遵循 Enriquez 的框架，利用椭圆关联器构造 $g=1, n=0$ 情形的 KV 问题的解。
• 定义拟幂零群 $\\mathrm{KV}$ 和 $\\mathrm{KRV}$，它们在 KV 问题的解空间上自由且可递地作用。
• 从格罗滕迪克-泰希缪勒群出发，建立注入同态 $\\mathrm{GT}_1 \to \\mathrm{KV}$ 和 $\\mathrm{GRT}_1 \to \\mathrm{KRV}$，其依赖于 $\Sigma$ 的一对裤分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Goldman-Turaev 李双代数在高亏格下是否允许同态展开（即正式性）？
• RQ2 经典 Kashiwara-Vergne 问题能否推广到亏格 $g > 0$ 的曲面？
• RQ3 在亏格一曲面上，哪些框架选择会导致 Goldman-Turaev 李双代数的正式性失效？
• RQ4 格罗滕迪克-泰希缪勒群与高亏格 KV 问题的解空间之间有何关系？
• RQ5 椭圆关联器在构造 $g=1, n=0$ KV 问题的解中起什么作用？

主要发现

• Goldman-Turaev 李双代数的正式性对所有 $g$ 和 $n$ 成立，除了在亏格一中某些框架下不成立。
• 对于 $g=0, n=2$ 情形，KV 问题的解存在，如先前工作所建立，这些解对应于亏格零下的经典正式性。
• 对于 $g=1, n=0$ 情形，利用椭圆关联器构造了 KV 问题的解，将经典框架扩展到了高亏格情形。
• $\\mathrm{KV}$ 群在高亏格 KV 问题的解空间上自由且可递地作用，且它还通过自同态作用于完备李双代数 $\\mathfrak{g}(\Sigma)$。
• $\\mathrm{KRV}$ 群在解空间上自由且可递地作用，且存在依赖于 $\Sigma$ 的一对裤分解的注入同态 $\\mathrm{GT}_1 \to \\mathrm{KV}$ 和 $\\mathrm{GRT}_1 \to \\mathrm{KRV}$。
• 证明了一个关于自由群群代数上非交换散度上循环的唯一性定理，该结果在李理论中具有独立兴趣。