[论文解读] The Gromov-Eliashberg theorem by microlocal sheaf theory

Stéphane Guillermou|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文利用微局部层理论，为Gromov-Eliashberg定理提供了新颖的证明，表明一族辛微分同胚的$C^0$-极限本身仍是辛的。通过将辛映射的图像与层相关联，并利用微支撑的对合性，作者证明极限拉格朗日子流形必为余辛的，因而为拉格朗日的，从而推出极限映射的辛性。

ABSTRACT

The Gromov-Eliashberg theorem says that the group of symplectomorphisms of a symplectic manifold is C^0-closed in the group of diffeomorphisms. This can be translated into a statement about the Lagrangian submanifolds which are graphs of symplectomorphisms. It is also known that such Lagrangian submanifolds are locally microsupports of sheaves. We explain how we can deduce the Gromov-Eliashberg theorem from the involutivity theorem of Kashiwara and Schapira which says that the microsupport of a sheaf is coisotropic.

研究动机与目标

• 通过微局部层理论，为Gromov-Eliashberg刚性定理提供一种新证明。
• 通过分析相关层的微支撑，建立辛微分同胚$C^0$-极限为辛映射的结论。
• 通过Kashiwara与Schapira的对合性定理，证明极限图像为余辛的。
• 证明极限图像的余辛性意味着其为拉格朗日子流形，从而推出极限映射为辛的。
• 利用层论的逼近与截断技术，将微支撑局部化至极限图像上的点。

提出的方法

• 作者为每个辛微分同胚$\varphi_n$关联一个$\mathbb{R}^{2n+1}$上的层$K_n$，其微支撑在$\varphi_n$的扭曲图像$\Lambda_{\varphi_n}$上投影。
• 通过涉及$K_n$的直和与积的典型三角形构造层$K$，确保$\rho_{\mathbb{R}^{2n}}(\dot{\mathrm{SS}}(K)) \subset \Lambda_{\varphi_\infty}$。
• 利用Kashiwara与Schapira的对合性定理，若包含关系为等式，则可推出$\Lambda_{\varphi_\infty}$在微支撑的像点处为余辛的。
• 应用微局部层理论中的截断结果，修改层$K_n$，使得所得层$K$的微支撑包含$\Lambda_{\varphi_\infty}$上的给定点$p$，从而保证对合性定理在$p$处适用。
• 通过选择任意小的$r$，并利用$\Lambda_n^1$收敛至$\Lambda_\infty^1$，证明在原点处满足余辛性，从而推出极限为辛的。
• 利用同调论与层论逼近，确保截面非平凡且层非恒定，从而保证微支撑非空。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用微局部层理论而非传统辛几何方法证明Gromov-Eliashberg定理？
• RQ2 微支撑的对合性如何限制辛微分同胚序列极限的几何结构？
• RQ3 能否利用层论技术检测$C^0$-极限下辛映射的辛性？
• RQ4 层的微支撑在刻画作为辛映射图像的拉格朗日子流形中起什么作用？
• RQ5 如何利用层论中的截断与逼近技术，将微支撑局部化至极限拉格朗日子流形上的特定点？

主要发现

• 通过微局部层论方法，证明了辛微分同胚序列的$C^0$-极限仍为辛映射。
• 由于构造层$K$的微支撑具有对合性，极限映射图像$\Lambda_{\varphi_\infty}$在每一点上均为余辛的。
• 层$K$的微支撑包含于$\rho_{V^2}$下对极限图像$\Lambda_{\varphi_\infty}$的原像中，且通过截断技术可实现局部相等。
• 极限层$L_\infty$的截面非平凡性确保$\dot{\mathrm{SS}}(L_\infty) \neq \emptyset$，这对应用对合性定理至关重要。
• 通过选择任意小的邻域，证明余辛性在原点成立，从而证明$\varphi_\infty$的线性化为辛的。
• 证明表明极限拉格朗日子流形在所有点上均为余辛的，且其在$4n$维余切丛中为$2n$维，故必为拉格朗日子流形，因此$\varphi_\infty$为辛的。