[论文解读] The Gromov-Witten axioms for symplectic manifolds via polyfold theory

Wolfgang Schmaltz|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文建立了辛几何中多胞形理论不变量的Gromov–Witten公理，证明了通过Hofer–Wysocki–Zehnder多胞形理论构造的不变量满足Kontsevich与Manin最初提出的代数关系。证明依赖于对评估映射的摄动构造，并通过通用曲线多胞形上的分枝积分分析交点数，确认了所有亏格与紧致辛流形下与公理框架的一致性。

ABSTRACT

Polyfold theory, as developed by Hofer, Wysocki, and Zehnder, is a relatively new approach to resolving transversality issues that arise in the study of $J$-holomorphic curves in symplectic geometry. This approach has recently led to a well-defined Gromov-Witten invariant for $J$-holomorphic curves of arbitrary genus, and for all closed symplectic manifolds. The Gromov-Witten axioms, as originally described by Kontsevich and Manin, give algebraic relationships between the Gromov-Witten invariants. In this paper, we prove the Gromov-Witten axioms for the polyfold Gromov-Witten invariants.

研究动机与目标

• 通过Hofer–Wysocki–Zehnder多胞形理论构造的多胞形Gromov–Witten不变量建立Gromov–Witten公理。
• 通过抽象摄动与分枝积分，解决$J$-全纯曲线模空间中的横截性问题。
• 验证多胞形不变量满足Kontsevich与Manin的代数关系（公理），包括粘合与结合性性质。
• 分析多胞形模空间上评估映射与遗忘映射的行为，特别是关于标记点的粘合与识别。
• 确认不变量在自然几何操作（如遗忘一个标记点或识别两个标记点）下是良定义且一致的。

提出的方法

• 将通用曲线多胞形构造为对数Deligne–Mumford轨道丛的纤维丛，以建模带标记点的稳定曲线。
• 通过Cauchy–Riemann截面的抽象摄动在多胞形设定下实现横截性，从而使得分枝积分得以定义。
• 应用分枝积分概念，将多胞形Gromov–Witten不变量计算为评估映射与子轨道丛的交点数。
• 分析多胞形模空间上第$k$个标记点的遗忘映射，识别出由于非子mersive性与幽灵分量导致的障碍。
• 通过遗忘映射与标记点识别映射的拉回摄动，比较不同模空间上的不变量。
• 通过标记点识别下的二对一对应关系，确立交点数相等，从而导出包含粘合公理中因子2的关键恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过Hofer–Wysocki–Zehnder理论构造的多胞形Gromov–Witten不变量是否满足Kontsevich–Manin公理？
• RQ2 在多胞形设定下，第$k$个标记点的遗忘映射行为如何，特别是关于可微性与连续性？
• RQ3 尽管由于非子mersive投影导致横截性失败，是否仍能使用多胞形摄动理论验证包含两个标记点识别的粘合公理？
• RQ4 在标记点识别下，分裂亏格$g-1$模空间上的不变量与原始亏格$g$空间上的不变量之间的确切关系为何？
• RQ5 在多胞形框架下，子轨道丛与评估映射的摄动如何通过遗忘映射与粘合映射的拉回相互作用？

主要发现

• 多胞形Gromov–Witten不变量满足Kontsevich–Manin公理的全部内容，包括粘合与结合性关系。
• 第$k$个标记点的遗忘映射在具有恒定不稳定幽灵分量的子集上不连续，揭示了一个关键的技术障碍。
• 尽管存在非横截性，评估映射与摄动子轨道丛的交点数仍良定义且有限，从而允许进行分枝积分计算。
• 标记点识别映射在亏格$g-1$与亏格$g$模空间之间诱导出交点的二对一对应关系，导致不变量等式中出现因子2。
• 等式$\operatorname{GW}_{A,g-1,k+2}(\alpha_1,\dots,\alpha_k,\operatorname{PD}(e_\nu),\operatorname{PD}(e^\nu);\beta) = 2 \cdot \operatorname{GW}_{A,g,k}(\alpha_1,\dots,\alpha_k;\psi_*\beta)$在多胞形设定下确认了粘合公理。
• 该构造证实多胞形不变量与经典公理框架一致，验证了其在枚举几何中的作用。