[论文解读] The Grothendieck and Picard groups of a complete toric DM stack

S. Paul Smith|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过基于分次多项式环和合适无关理想的齐次坐标环构造，计算了完备 toric Deligne-Mumford 叠的格罗滕迪克群与佩卡德群。通过将叠建模为商叠 $[(V-Z)/G]$，作者建立了叠上拟相干层范畴与分次模的商范畴之间的等价关系，从而利用分次模理论与分次环的中岛引理，实现了 $K_0$ 与 $\operatorname{Pic}$ 的显式计算。

ABSTRACT

We compute the Grothendieck and Picard groups of a complete smooth toric Deligne-Mumford stack by using a suitable category of graded modules over a polynomial ring.

研究动机与目标

• 提供一种基于模理论的、对 toric DM 叠的 $K_0$ 与 $\operatorname{Pic}$ 进行计算的初等方法，避免使用复杂的叠论工具。
• 将齐次坐标环的概念推广至任意有限生成阿贝尔分次群，将 Cox 的构造推广至 toric DM 叠。
• 建立 $\mathsf{Qcoh}([ (V-Z)/G ])\,$ 与商范畴 $\mathsf{Gr}(S,\Gamma)/\mathsf{T}$ 之间的范畴等价，其中 $S$ 为分次环，$\mathsf{T}$ 为局部化子范畴。
• 证明叠上每个凝聚层均可由直和的可逆层有限射影化解，从而简化 $K_0$ 的计算。
• 将先前关于完备 toric 叠的结果推广至更一般的 toric DM 叠，包括那些在特征群中具有挠元的叠。

提出的方法

• 使用三元组 $(S, \Gamma, \mathfrak{a})$，其中 $S$ 为 $\Gamma$-分次多项式环，$\Gamma$ 为有限生成阿贝尔分次群，$\mathfrak{a}$ 为无关理想，以建模叠的齐次坐标环。
• 利用等价关系 $\mathsf{Qcoh}([ (V-Z)/G ]) \simeq \mathsf{Gr}(S,\Gamma)/\mathsf{T}$，其中 $\mathsf{T}$ 为在 $Z$ 上支撑的模的子范畴，将几何问题转化为模论问题。
• 应用分次环上关于任意有限生成阿贝尔分次群的中岛引理的一个版本，证明有限生成的分次射影模为自由模的平移的直和。
• 利用分次环 $S$ 的结构与特征群 $\Gamma$ 的作用，定义可逆层 $\mathcal{O}_\mathcal{X}(\alpha)$，并将其与分次 $S$-模联系起来。
• 通过分次模序列显式构造了点层与子叠的结构层的射影化解，从而实现 $K_0$ 类的计算。
• 通过诱导的齐次坐标环之间的映射分析叠之间的态射，并利用这些映射计算 $K_0$ 与 $\operatorname{Pic}$ 上的拉回。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分次模范畴计算 toric DM 叠的格罗滕迪克群 $K_0$？
• RQ2 toric DM 叠的佩卡德群结构如何？其与分次群 $\Gamma$ 的关系是什么？
• RQ3 齐次坐标环构造能否推广至非无挠分次群，以包含所有完备 toric DM 叠？
• RQ4 toryc DM 叠之间的态射如何诱导 $K_0$ 与 $\operatorname{Pic}$ 上的映射？其代数实现形式为何？
• RQ5 对 toric DM 叠上凝聚层范畴的描述，在多大程度上可通过分次模的商范畴实现？

主要发现

• 对于完备 toric DM 叠 $\mathcal{X}$，其格罗滕迪克群 $K_0(\mathcal{X})$ 在 $\mathbb{P}[q,p]$ 情形下同构于 $\mathbb{Z}[u^{\pm 1}]/((1-u^p)(1-u^q))$，反映了其轨道丛结构。
• 当 $\mathcal{X} = \mathbb{P}[q,p]$ 时，佩卡德群 $\operatorname{Pic}(\mathcal{X})$ 同构于 $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/(p,q)\mathbb{Z}$，其中挠部分源于叠的结构。
• 在北极点处的层 $\mathcal{O}_\mathfrak{n}$ 的类满足 $[\mathcal{O}_\mathfrak{n}] = 1 - t$，其中 $t$ 为分次环的生成元。
• 非叠点 $\mathcal{O}_\lambda$ 的类满足 $[\mathcal{O}_\lambda] = 1 - t^p = 1 - s^q$，且等于 $p$ 个 $[\mathcal{O}_\mathfrak{n}(-ie)]$ 的直和，$i=0,\dots,p-1$。
• 将非叠点的结构层关于线丛进行扭变不会改变其在 $K_0$ 中的类，因为 $1 - t^p = t(1 - t^p)$。
• 态射 $\bar{\phi}: \mathbb{F}[p,q] \to \mathbb{P}^1$ 在 $K_0$ 上诱导满射，其核由 $t^p - 1$ 生成，反映了轨道丛的商结构。