[论文解读] The Harish-Chandra isomorphism for Clifford algebras

Yuri Bazlov|ArXiv.org|Dec 11, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文建立了 Clifford 代数版本的 Harish-Chandra 同构，证明了 Clifford 代数 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g})$ 的 $\sigma$-不变子代数同构于 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{h})$，并进一步表明该同构将基本不变量空间与 Langlands 对偶李代数 $\mathfrak{g}^\vee$ 的主分次下的 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$ 关联起来。这证实了 Kostant 关于 $\mathfrak{h}$ 的典范基起源的猜想。

ABSTRACT

We study the analogue of the Harish-Chandra homomorphism where the universal enveloping algebra is replaced by the Clifford algebra, $Cl(g)$, of a semisimple Lie algebra $g$. Two main goals are achieved. First, we prove that there is a Harish-Chandra type isomorphism between the subalgebra of $g$-invariants in $Cl(g)$ and the Clifford algebra of the Cartan subalgebra of $g$. Second, the Cartan subalgebra is identified, via this isomorphism, with a graded space of the so-called primitive skew-symmetric invariants of $g$. This leads to a distinguished orthogonal basis of the Cartan subalgebra, which turns out to be induced from the Lie algebra Langlands dual to $g$ via the action of its principal three-dimensional subalgebra. This settles a conjecture of Kostant.

研究动机与目标

• 为 Clifford 代数建立类似 Harish-Chandra 的同构，将普遍包络代数 $U(\mathfrak{g})$ 替换为 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g})$。
• 将 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g})$ 中 $\mathfrak{g}$-不变子代数与 Cartan 子代数的 Clifford 代数 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{h})$ 识别。
• 通过同构确定 $\mathfrak{h}$ 上的分次，将其与 Langlands 对偶李代数 $\mathfrak{g}^\vee$ 的主分次联系起来。
• 证实 Kostant 的猜想：$\mathfrak{h}$ 的典范基源自 $\mathfrak{g}^\vee$ 的主三維子代数。

提出的方法

• 利用三角分解 $\mathfrak{g} = \mathfrak{n}_- \oplus \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{n}_+$，将 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g})$ 分解为 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{n}_-) \otimes {\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{h}) \otimes {\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{n}_+)$。
• 构造一个投影 $\Phi: {\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g}) \to {\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{h})$，类似于经典的 Harish-Chandra 同态。
• 应用 Kostant 的变量分离结果，证明 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g}) = E \otimes J$，其中 $J = {\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g})^\mathfrak{g}$ 是 $\mathfrak{g}$-不变子代数。
• 通过同构 $\Phi: J \xrightarrow{\sim} {\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{h})$，将 $J$ 中的基本不变量空间 $P$ 与 $\mathfrak{h}$ 识别。
• 利用 Langlands 对偶代数 $\mathfrak{g}^\vee$ 中的主 $\mathfrak{sl}_2$-三元组，通过其与 $\mathfrak{h}$ 的交集在 $\mathfrak{h}$ 上定义分次。
• 使用 Chevalley 投影和对偶不变量，验证在 $\Phi$ 下基本不变量的像位于 $({\rm ad}\,e_0^\vee)^{m_k+1}$ 的核中，从而确认主基结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在类似于 $U(\mathfrak{g})$ 的经典同构的 Clifford 代数 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g})$ 的 Harish-Chandra 同构？
• RQ2 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g})$ 中 $\mathfrak{g}$-不变子代数能否与 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{h})$ 识别？
• RQ3 通过同构 $J \xrightarrow{\sim} {\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{h})$ 在 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$ 上诱导的分次是什么？
• RQ4 该分次是否源自 Langlands 对偶李代数 $\mathfrak{g}^\vee$ 的主分次？
• RQ5 由此得到的 $\mathfrak{h}$ 的基是否为由 $\mathfrak{g}^\vee$ 诱导的典范主基？

主要发现

• Harish-Chandra 映射 $\Phi$ 限制在 $\mathfrak{g}$-不变子代数 $J = {\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{g})^\mathfrak{g}$ 上，构成与 Cartan 子代数的 Clifford 代数 ${\mathit{C}\!\ell}(\mathfrak{h})$ 的同构。
• 通过同构 $\Phi$，$J$ 中的基本不变量空间 $P$ 与 $\mathfrak{h}$ 识别，建立了直接对应关系。
• 通过同构诱导的 $\mathfrak{h}$ 上的分次，与 Langlands 对偶李代数 $\mathfrak{g}^\vee$ 的主分次一致，其作用来自其主三維子代数。
• 得到的 $\mathfrak{h}$ 的基在 Killing 型下正交，且与 $\mathfrak{g}^\vee$ 的典范主基一致。
• 对于单李代数 $\mathfrak{g}$，$\mathfrak{h}$ 的分次分量通常为一维，从而得到一个特殊的正交基。
• 该结果证实了 Kostant 的猜想：$\mathfrak{h}$ 的典范基源自 Langlands 对偶代数 $\mathfrak{g}^\vee$ 的主 $\mathfrak{sl}_2$-三元组。