[论文解读] The Hidden Subgroup Problem in Affine Groups: Basis Selection in Fourier Sampling

Cristopher Moore, Daniel N. Rockmore+2 more|ArXiv.org|Nov 20, 2002

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 18被引用 19

一句话总结

本文证明，在满足 $ q\mid(p-1) $ 且 $ q=p/\mathrm{polylog}(p) $ 的仿射群 $ \mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p $ 中，隐藏子群问题（HSP）可通过强标准傅里叶采样方法高效求解。研究证明，弱标准方法与遗忘阿贝尔方法在这些群上均失效，从而确立了在该背景下强方法严格优于其他方法。

ABSTRACT

Many quantum algorithms, including Shor's celebrated factoring and discrete log algorithms, proceed by reduction to a hidden subgroup problem, in which a subgroup H of a group G must be determined from a quantum state y uniformly supported on a left coset of H. These hidden subgroup problems are then solved by Fourier sampling: the quantum Fourier transform of y is computed and measured. When the underlying group is non-Abelian, two important variants of the Fourier sampling paradigm have been identified: the weak standard method, where only representation names are measured, and the strong standard method, where full measurement occurs. It has remained open whether the strong standard method is indeed stronger, that is, whether there are hidden subgroups that can be reconstructed via the strong method but not by the weak, or any other known, method. In this article, we settle this question in the affirmative. We show that hidden subgroups of semidirect products of Z_p by Z_q, where q divides (p-1) and q = p / polylog(p), can be efficiently determined by the strong standard method. Furthermore, the weak standard method and the ``forgetful'' Abelian method are insufficient for these groups. We extend this to an information-theoretic solution for the hidden subgroup problem over semidirect products of Z_p by \Z_q where q divides (p-1) and, in particular, the Affine groups A_p. Finally, we prove a closure property for the class of groups over which the hidden subgroup problem can be solved efficiently.

研究动机与目标

• 解决强标准傅里叶采样方法是否在非阿贝尔群中严格优于弱标准或阿贝尔方法以求解隐藏子群问题（HSP）的问题。
• 证明在半直积 $ \mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p $ 中，当 $ q\mid(p-1) $ 且 $ q=p/\mathrm{polylog}(p) $ 时，HSP 可通过强标准方法高效求解。
• 表明弱标准方法与遗忘阿贝尔方法无法重构这些仿射群中的隐藏子群。
• 将解法扩展至信息论层面，覆盖所有满足 $ q\mid(p-1) $ 的群 $ \mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p $，包括仿射群 $ A_p $。
• 证明一个闭包性质：若 HSP 在群 $ H $ 上可高效求解，且 $ K $ 是多项式大小的正规子群，则在任意满足 $ K\lhd G $ 且 $ G/K\cong H $ 的扩张群 $ G $ 上，HSP 也可高效求解。

提出的方法

• 本文分析了非阿贝尔群中的傅里叶采样范式，区分了仅测量表示名称的弱标准方法与测量完整不可约表示的强标准方法。
• 构建了一个量子算法，对均匀分布在隐藏子群陪集上的量子态执行量子傅里叶变换，随后在强标准基下进行完整测量。
• 对于满足 $ q=p/\mathrm{polylog}(p) $ 的群 $ \mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p $，该方法利用非阿贝尔结构与高维表示，提取出阿贝尔傅里叶变换无法获取的子群信息。
• 作者证明，强方法下测量结果的概率分布可唯一确定隐藏子群，而弱方法因表示名称的退化性而失效。
• 他们利用高斯和与特征内积证明，对 $ \mathbb{Z}_p^*\times\mathbb{Z}_p $ 上的阿贝尔傅里叶变换无法区分共轭子群 $ H_a^b $（当 $ b\neq 0 $ 时），从而证明其不足。
• 建立了一个闭包性质：若 HSP 在群 $ H $ 上可高效求解，且 $ K $ 是多项式大小的正规子群，则在任意满足 $ K\lhd G $ 且 $ G/K\cong H $ 的扩张群 $ G $ 上，HSP 也可高效求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 强标准傅里叶采样方法是否在非阿贝尔群中严格优于弱标准或阿贝尔方法以求解 HSP？
• RQ2 能否通过强标准方法在仿射群 $ A_p = \mathbb{Z}_p^*\ltimes\mathbb{Z}_p $ 中高效求解 HSP？
• RQ3 为何弱标准方法与遗忘阿贝尔方法在 $ \mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p $ 中无法重构隐藏子群（当 $ q=p/\mathrm{polylog}(p) $ 时）？
• RQ4 在 $ \mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p $ 上（当 $ q\mid(p-1) $ 时），HSP 的信息论可解性如何？
• RQ5 HSP 可高效求解的群类是否在多项式大小正规子群的群扩张下保持闭包性？

主要发现

• 强标准傅里叶采样方法可在 $ \mathbb{Z}_q\ltimes\mathbb{Z}_p $ 中高效重构隐藏子群（当 $ q\mid(p-1) $ 且 $ q=p/\mathrm{polylog}(p) $ 时），而弱标准方法与遗忘阿贝尔方法则不能。
• 对于仿射群 $ A_p $，HSP 可通过强方法实现信息论可解，但无法通过 $ \mathbb{Z}_p^*\times\mathbb{Z}_p $ 上的阿贝尔傅里叶变换实现。
• 强方法下测量结果的概率分布可唯一确定隐藏子群，而弱方法因表示名称的退化性而失效。
• 阿贝尔傅里叶变换无法区分共轭子群 $ H_a^b $（当 $ b\neq 0 $ 时），因为结果概率与 $ b $ 无关，导致其不可区分。
• HSP 可高效求解的群类在多项式大小正规子群的群扩张下保持闭包性，推广了关于可解群与光滑可解群的先前结果。
• 该算法仅需多项式次查询与经典后处理，且在获得函数预言机与高效群运算的前提下，可在多项式时间内实现。