[论文解读] The higher order fractional Calder\'on problem for linear local operators: uniqueness

Giovanni Covi, Keijo Mönkkönen+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 44被引用 8

一句话总结

该论文通过外部 Dirichlet-to-Neumann (DN) 映射，建立了分数阶薛定谔方程高阶局部扰动中系数的唯一性。利用Sobolev乘子空间和Runge逼近方法，证明了当阶数 m < 2s 时，线性PDO的DN映射唯一确定其系数，将先前针对零阶和一阶扰动的结果推广至具有分数阶Sobolev或乘子空间中系数的高阶算子。

ABSTRACT

We study an inverse problem for the fractional Schr\"odinger equation (FSE) with a local perturbation by a linear partial differential operator (PDO) of order smaller than the order of the fractional Laplacian. We show that one can uniquely recover the coefficients of the PDO from the Dirichlet-to-Neumann (DN) map associated to the perturbed FSE. This is proved for two classes of coefficients: coefficients which belong to certain spaces of Sobolev multipliers and coefficients which belong to fractional Sobolev spaces with bounded derivatives. Our study generalizes recent results for the zeroth and first order perturbations to higher order perturbations.

研究动机与目标

• 解决分数阶Calderón问题中高阶局部扰动的唯一性问题，将先前针对零阶和一阶算子的结果进行推广。
• 建立在具有光滑边界有界区域中，外部Dirichlet-to-Neumann (DN) 映射唯一确定阶数 m < 2s 的线性PDO系数的结论。
• 通过允许系数属于更广泛的函数空间（包括具有有界导数的分数阶Sobolev空间和Sobolev乘子空间），推广先前结果。
• 为涉及具有局部扰动的非局部算子的反问题提供严谨的框架，结合泛函分析与PDE技术。
• 确认早期工作（[12]中的问题7.5）中关于有界区域上光滑边界条件下高阶分数阶Calderón问题中光滑系数唯一性的猜想。

提出的方法

• 在具有外部数据的有界域 Ω 中，表述扰动分数阶薛定谔方程 ((−∆)^s u + P(x,D)u = 0) 的反问题。
• 将外部DN映射 Λ_P 定义为非局部法向迹算子，将外部Dirichlet数据映射到非局部法向数据。
• 利用 Sobolev乘子空间 M_0(H^{s-|α|} → H^{-s}) 的理论，表征PDO P(x,D) 的可接受系数空间。
• 应用 Kato-Ponce 不等式和插值估计，控制与PDE相关的双线性形式中的低阶项。
• 通过高阶Poincaré型不等式和扰动论证，建立双线性形式的强制性。
• 利用Runge逼近性质和Alessandrini型恒等式，将DN映射的差异与系数的差异联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 外部Dirichlet-to-Neumann映射是否能唯一确定分数阶薛定谔方程中高阶线性PDO的系数？
• RQ2 系数在何种函数空间条件下可保证高阶分数阶Calderón问题中的唯一性？
• RQ3 唯一性结果是否可从零阶和一阶扰动推广至一般 m 阶PDO（m < 2s）？
• RQ4 当系数属于具有有界导数的分数阶Sobolev空间或乘子空间时，能否建立系数恢复？
• RQ5 具有局部扰动的高阶分数阶PDE是否满足Runge逼近性质？

主要发现

• 当系数属于有界Sobolev乘子空间 M_0(H^{s-|α|} → H^{-s}) 时，外部DN映射唯一确定阶数 m < 2s 的线性PDO的系数。
• 对于系数属于 H^{r_α,∞}(Ω) 的情形（其中 r_α 按 (1.4) 定义），即使 |α| − s 为半整数，DN映射仍唯一确定PDO中的系数 a_{j,α}。
• 该结果推广了 [12, 定理1.5] 至高阶算子，并将 [44, 定理1.1] 推广至 m > 0，覆盖了高阶扰动的情形。
• 证明依赖于基于Kato-Ponce不等式和插值估计的新强制性估计，确保了解的存在性与唯一性。
• Runge逼近性质对原方程和伴随方程均成立，使得Alessandrini恒等式可用于将DN映射差异与系数差异关联。
• 在 ((−∆)^s + P(x,D)) 的0不是Dirichlet特征值的条件下，唯一性结果成立，从而保证了正向问题的适定性。