[论文解读] The Hitchin-Witten Connection and Complex Quantum Chern-Simons Theory

Jørgen Ellegaard Andersen, Niels Leth Gammelgaard|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 60被引用 13

一句话总结

本文提供了复量子Chern-Simons理论中Hitchin-Witten联络曲率的微分几何计算，表明其在量子空间上作用为一阶微分算子。当模空间不包含全纯向量场时，可建立投影平坦性，从而通过在平凡丛上定义的联络，实现在Teichmüller空间上对量子态的投影平坦平行移动。

ABSTRACT

We give a direct calculation of the curvature of the Hitchin connection, in geometric quantization on a symplectic manifold, using only differential geometric techniques. In particular, we establish that the curvature acts as a first-order operator on the quantum spaces. Projective flatness follows if the Kähler structures do not admit holomorphic vector fields. Following Witten, we define a complex variant of the Hitchin connection on the bundle of prequantum spaces. The curvature is essentially unchanged, so projective flatness holds in the same cases. Finally, the results are applied to quantum Chern-Simons theory, both for compact and complex gauge groups.

研究动机与目标

• 提供几何量子化中Hitchin联络曲率的直接微分几何计算。
• 通过Witten提出的联络复变体，将Hitchin联络推广至复结构群。
• 在模空间无全纯向量场的条件下，建立Hitchin-Witten联络的投影平坦性。
• 将结果应用于紧致与复结构群的量子Chern-Simons理论。
• 通过Hitchin-Witten联络的平行移动，识别不同复结构下的量子空间。

提出的方法

• 使用微分几何技术，计算在第一贝蒂数和第一陈类为零的辛流形上Hitchin联络的曲率。
• 对复结构群的平坦联络模空间应用几何量子化，采用由黎曼曲面的Teichmüller空间参数化的实极化。
• 在Teichmüller空间上定义一个平凡丛，其纤维为平坦SU(n)联络模空间上Chern-Simons线丛的光滑截面。
• 利用Hodge分解、拉普拉斯算子和Teichmüller空间上向量场的协变导数公式，构造该平凡丛上的投影平坦联络。
• 利用Serre对偶性将Higgs场与模空间的余切向量联系起来，将Higgs丛的几何与超凯勒结构联系起来。
• 推导出Hitchin-Witten联络在光滑截面空间上的显式形式，其为一阶微分算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当限制在第一贝蒂数和第一陈类为零的辛流形的复结构时，Hitchin联络的曲率在几何量子化中如何表现？
• RQ2 在复量子Chern-Simons理论背景下，Hitchin-Witten联络在何种条件下是投影平坦的？
• RQ3 如何利用微分几何方法实现并分析Witten提出的Hitchin联络复变体？
• RQ4 在由Teichmüller空间参数化的平坦SU(n)联络模空间的光滑截面平凡丛上，联络的精确形式是什么？
• RQ5 量子态在黎曼曲面复结构改变下如何变换？Hitchin-Witten联络在此过程中起什么作用？

主要发现

• 通过微分几何方法计算得出，Hitchin联络的曲率在量子空间上作用为一阶微分算子。
• 当平坦联络模空间不包含全纯向量场时，Hitchin-Witten联络具有投影平坦性，此条件在亏格≥2的黎曼曲面上稳定丛时成立。
• Hitchin-Witten联络被显式构造为Teichmüller空间上平凡丛的联络，其纤维为$ C^inity(M^s, frac{L^k}) $，由涉及$ \nabla^T_V $、拉普拉斯算子和协变导数的公式给出。
• 由于模空间上无全纯向量场，联络为投影平坦，确保平行移动可将不同复结构下的量子空间相互识别。
• 由不同实极化导出的量子空间通过Hitchin-Witten联络的平行移动实现投影等价。
• Hitchin-Witten联络的曲率与原始Hitchin联络基本一致，证实其在复设置下的鲁棒性。