[论文解读] The Hodge conjecture and arithmetic quotients of complex balls

Nicolas Bergeron, John J. Millson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用 5

一句话总结

本文利用自守形式与表示的内形分类，证明了在远离中心区间 ]n/3, 2n/3[ 的度数下，复球面的Shimura簇满足Hodge猜想。同时，也在类似范围内证明了Tate猜想与广义Hodge猜想，将结果推广至任意亏格的酉群，条件是断群的迹公式稳定化。

ABSTRACT

Let $S$ be a closed Shimura variety uniformized by the complex $n$-ball. The Hodge conjecture predicts that every Hodge class in $H^{2k} (S, \Q)$, $k=0, \ldots, n$, is algebraic. We show that this holds for all degree $k$ away from the neighborhood $]n/3, 2n/3[$ of the middle degree. We also address the Tate conjecture and the generalized form of the Hodge conjecture and extend most of our results to Shimura varieties associated to unitary groups of any signature. The proofs make use of the recent endoscopic classification of automorphic representations of classical groups by \cite{ArthurBook,Mok}. As such our results are conditional on the stabilization of the trace formula for the (disconnected) groups $\GL (N) times \langle θ angle$ associated to base change. Unfortunately, at present the stabilization of the trace formula has been proved only for the case of {\it connected} groups. The extension needed is part of work in progress by the Paris-Marseille team of automorphic form researchers. For more detail, see the second paragraph of subsection ef{org2} below.

研究动机与目标

• 证明复n维球面均匀化的Shimura簇在上同调度数 k ∉ ]n/3, 2n/3[ 时满足Hodge猜想。
• 将上述结果推广至任意亏格的酉群相关的Shimura簇。
• 在相同上同调度数下建立Tate猜想与广义Hodge猜想。
• 通过证明有理Hodge类与代数类在非中心度数下一致，为Hodge猜想的最强形式提供证据。
• 基于自守形式与theta对应，构建分析算术商上同调的框架。

提出的方法

• 利用全局theta对应与Rallis的内积公式，将自守形式与上同调类关联。
• 应用经典群自守表示的内形分类，分析上同调的谱分解。
• 采用扭Fock模型与特殊的 (𝔘(p,q),K)-cocycles ψ_{bq,aq} 计算上同调表示。
• 通过Schrödinger模型与Borel变换构造算子，将cocycles与全纯形式关联。
• 利用Hard Lefschetz定理，证明水平过滤 N^c H^•(S,ℚ) 的对偶不变性。
• 依赖于GL(N) ⋊ ⟨θ⟩的迹公式稳定化，该条件基于迹公式理论的最新进展。

实验结果

研究问题

• RQ1 在上同调度数 k ∉ ]n/3, 2n/3[ 时，复球面均匀化的Shimura簇是否满足Hodge猜想？
• RQ2 Tate猜想是否能在与Hodge猜想相同的度数下于这些簇上成立？
• RQ3 广义Hodge猜想在子簇余维数c的范围内在多大程度上成立，且远离依赖于c的中心区间？
• RQ4 尽管Grothendieck曾警告右侧未必为Hodge结构，复球面商的Hodge猜想最强形式（使用ℚ系数）是否仍成立？
• RQ5 自守形式与theta提升如何贡献于非中间度数下Hodge类的代数性？

主要发现

• 对于由复n维球面均匀化的紧致Shimura簇S，Hodge猜想在所有满足 k ∉ ]n/3, 2n/3[ 的度数 k ∈ H^{2k}(S,ℚ) 下成立。
• Tate猜想在与Hodge猜想相同的上同调度数下被证明。
• 广义Hodge猜想在远离以中间维数为中心的区间（依赖于子簇余维数c）的度数下成立。
• 当 q=1（即复球面）时，H^n(S,ℚ) 中水平为c的Hodge类恰好是所有满足 a,b ≥ c 的 H^{a,b}(S,ℂ) 的和。
• 在断群 GL(N) ⋊ ⟨θ⟩ 的迹公式稳定化假设下，结果可推广至任意亏格的酉群。
• 本文确认，在此特例中，尽管右侧通常并非Hodge结构，Hodge猜想的更强形式（使用ℚ系数）仍成立。