[论文解读] The Hodge de Rham theory of relative Malcev completion

Richard Hain|ArXiv.org|Jul 18, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文为基本群的相对Malcev完备化发展了Hodge-de Rham理论，推广了Chen的de Rham理论以及Morgan-Hain的Hodge理论。它为代数几何中基本群表示的研究建立了基础框架，关键应用在于通过代数曲线的幂零基本群上的混合Hodge结构研究映射类群。

ABSTRACT

The Hodge de Rham theory of relative Malcev completion is developed in this paper. In the special case where one takes the corresponding reductive group to be trivial, one recovers Chen's de Rham theory of the fundamental group and the corresponding Hodge theory due to Morgan and the author. This work is a principal technical tool in the author's work on the mapping class groups.

研究动机与目标

• 将Hodge-de Rham理论推广至基本群的相对Malcev完备化设定中。
• 将Chen的基本群de Rham理论推广至相对的、拟幂零的设定。
• 为研究代数几何中基本群表示提供上同调框架。
• 为映射类群理论与算术几何中的应用建立理论基础。
• 在幂零基本群与混合Hodge结构的背景下，统一并扩展现有的Hodge理论方法。

提出的方法

• 构造特征为零的域上带基点的代数曲线基本群的相对Malcev完备化。
• 通过基本群的de Rham实现，将Hodge-de Rham理论应用于相关的拟代数群。
• 利用幂零基本群上的混合Hodge结构理论，为相对完备化定义Hodge-de Rham结构。
• 使用基本群在幂零局部系统系数下的de Rham上同调。
• 应用拟代数群上的Hodge结构理论，分析相对完备化作为混合Hodge结构的性质。
• 通过结合Malcev完备化与代数几何中的Hodge理论技术，重构相对设定下的Hodge-de Rham理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hodge-de Rham理论如何能被推广至基本群的相对Malcev完备化？
• RQ2 相对完备化上的Hodge-de Rham结构与Chen的de Rham理论之间有何关系？
• RQ3 相对Malcev完备化上的Hodge结构如何与幂零基本群上的混合Hodge结构相关联？
• RQ4 约化群在相对完备化中起什么作用？其平凡性如何恢复经典结果？
• RQ5 该理论在何种意义上作为研究映射类群的技术工具？

主要发现

• 相对Malcev完备化的Hodge-de Rham理论在约化群平凡的情况下，推广了Chen的de Rham理论与Morgan-Hain的Hodge理论。
• 该构造在曲线基本群的相对Malcev完备化上赋予了混合Hodge结构。
• 该理论为研究代数几何中基本群的幂零表示提供了上同调框架。
• 相对Malcev完备化容许一个与基本群上混合Hodge结构相容的Hodge-de Rham结构。
• 该框架使得能够通过Hodge理论方法研究映射类群中的单值(monodromy)与holonomy(仿射性)。
• 本文建立了一个基础性工具，为算术几何与曲线模空间拓扑的进一步研究提供支持。