[论文解读] The Holographic Fluid on the Sphere Dual to the Schwarzschild Black Hole

Ryuichi Nakayama|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用 7

一句话总结

该论文在 d+2 维时空中构建了一个形变的史瓦西黑洞度量，其在半径 $ r_c $ 处的 d-球面上的诱导度量固定，且未取近视界极限。通过假设流体速度 $ v^i $ 是球面上一个微小、范数恒定的基灵矢量场，该形变度量满足真空爱因斯坦方程，并给出布朗-约克应力张量，对应于不可压缩的理想流体，其流体动力学行为由欧拉方程支配。

ABSTRACT

We consider deformation of the d+2 dimensional asymptotically flat Schwarzschild black hole spacetime with the induced metric on a d-sphere at $r=r_c$ held fixed. This is done without taking the near horizon limit. The deformation is determined so that the $Λ=0$ vacuum Einstein equation is satisfied and the metric is regular on the horizon. In this paper the velocity of a dual fluid $v^i$ is assumed to be a Killing field and small, and the deformed metric is obtained up to $O(v^2)$. At this order of hydrodynamic expansion the dual fluid is an ideal one. The structure of the metric is fairly different from the near horizon result of Bredberg and Strominger in arXiv:1106.3084.

研究动机与目标

• 在渐近平坦时空中的史瓦西黑洞上建立流体/重力对偶，且不假设近视界极限。
• 确定一个形变度量，使其在 $ r = r_c $ 处的 d-球面 $ \Sigma_c $ 上保持诱导度量不变，同时满足 $ \Lambda = 0 $ 的真空爱因斯坦方程，并在视界处保持正则性。
• 通过假设 $ v^i $ 是一个微小的基灵矢量场且 $ P $ 为 $ O(\epsilon^2) $，在流体动力学展开中至 $ O(\epsilon^2) $ 的精度下，探索对偶流体的流体动力学极限。
• 将 $ \Sigma_c $ 上的布朗-约克应力张量识别为不可压缩理想流体的应力张量，并验证其流体动力学方程与欧拉方程一致。

提出的方法

• 从 d+2 维史瓦西度量的内向爱丁顿-芬克尔斯坦形式出发，引入 $ v^i $ 和 $ P $ 的微扰，以形变度量，同时保持 $ \Sigma_c $ 上的诱导度量不变。
• 施加真空爱因斯坦方程（$ R_{\mu\nu} = 0 $）和视界处的正则性条件，以确定度量微扰的系数函数。
• 假设 $ v^i $ 是 $ S^d $ 上的基灵矢量场，其范数 $ v^2 $ 恒定且为 $ O(\epsilon^2) $，且 $ P = O(\epsilon^2) $，以简化至二阶的流体动力学展开。
• 逐阶求解爱因斯坦方程，推导出涉及 $ A_2(r), A_3(r), A_5(r), A_6(r), a_1(r), a_2(r), a_3(r) $ 的度量分量表达式，并施加在 $ r = r_c $ 处的边界条件。
• 利用从形变度量导出的克里斯托费尔符号，计算 $ \Sigma_c $ 上的平均曲率和布朗-约克应力张量，识别出流体能量-动量张量的形式。
• 发现所得应力张量对应于不可压缩的理想流体，由于 $ v^i $ 的基灵性质，其流体动力学方程退化为欧拉方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不取近视界极限的前提下，构建一个与史瓦西黑洞对偶的全息流体？
• RQ2 与布雷德伯格和施特罗明格（arXiv:1106.3084）的近视界结果相比，该形变度量的结构有何不同？
• RQ3 在截断球面 $ \Sigma_c $ 上，布朗-约克应力张量的形式是什么？它是否对应于已知的流体模型？
• RQ4 度量中的常数 $ a_2 $ 为何未被确定？这表明形变的唯一性如何？
• RQ5 能否将由应力张量导出的流体动力学识别为欧拉型？在何种条件下成立？

主要发现

• 该形变度量满足真空爱因斯坦方程，并在不取近视界极限的情况下仍保持在视界处正则。
• 在 $ \Sigma_c $ 上的布朗-约克应力张量表现为不可压缩理想流体，其压强 $ P $ 恒定，这是由于 $ v^i $ 和 $ P $ 的 $ O(\epsilon^2) $ 微扰所致。
• 该流体不可压缩，因为 $ v^i $ 是 $ S^d $ 上的基灵矢量场，意味着 $ \nabla^{(h)}_i v^i = 0 $。
• 由应力张量守恒导出的流体动力学方程为欧拉方程，表明在 $ O(\epsilon^2) $ 精度下呈现理想流体行为。
• 度量中存在一个未定常数 $ a_2 $，表明该形变不唯一，当前条件无法确定该参数。
• 所得度量结构与平坦 $ \Sigma_c $ 情况显著不同，最终形式中不存在 $ v_i \, dr \, dx^i $ 或 $ \chi_i \, dx^i \, dr $ 项。