[论文解读] Differentiable Stacks and Gerbes

Kai Behrend, Ping Xu|arXiv (Cornell University)|May 27, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 28

一句话总结

本文建立了不同可微堆栈上的 $S^1$-gerbes 与李群胚的 $S^1$-中心扩张的莫里塔等价类之间的对应关系，发展了特征类的陈-西尔理论，并通过几何与李代数胚方法构造了具有预定曲率类数据的 $S^1$-中心扩张。

ABSTRACT

We introduce differentiable stacks and explain the relationship with Lie groupoids. Then we study $S^1$-bundles and $S^1$-gerbes over differentiable stacks. In particular, we establish the relationship between $S^1$-gerbes and groupoid $S^1$-central extensions. We define connections and curvings for groupoid $S^1$-central extensions extending the corresponding notions of Brylinski, Hitchin and Murray for $S^1$-gerbes over manifolds. We develop a Chern-Weil theory of characteristic classes in this general setting by presenting a construction of Chern classes and Dixmier-Douady classes in terms of analogues of connections and curvatures. We also describe a prequantization result for both $S^1$-bundles and $S^1$-gerbes extending the well-known result of Weil and Kostant. In particular, we give an explicit construction of $S^1$-central extensions with prescribed curvature-like data.

研究动机与目标

• 发展不同可微堆栈上 $S^1$-gerbes 的几何理论，推广 Brylinski 和 Hitchin 在流形上的工作。
• 建立不同可微堆栈上 $S^1$-gerbes 与李群胚的 $S^1$-中心扩张的莫里塔等价类之间的一一对应关系。
• 将陈-西尔理论推广到此设定，利用联络与曲率的类比构造特征类。
• 提供具有预定伪曲率数据的 $S^1$-中心扩张的显式构造。
• 将 Weil-Kostant 量子化结果推广到不同可微堆栈上的 $S^1$-gerbes。

提出的方法

• 利用可微堆栈与李群胚之间的词典关系，其中堆栈被定义为李群胚的莫里塔等价类。
• 通过李群胚的 $S^1$-中心扩张的莫里塔等价类来定义不同可微堆栈 ${\mathfrak{X}}$ 上的 $S^1$-gerbes。
• 通过将基群胚上的几何数据提升到中心扩张，引入 $S^1$-中心扩张的联络与曲率。
• 应用李代数胚技术分析 $S^1$-中心扩张的可积性与曲率条件。
• 利用分布 ${\mathcal{D}}_s$ 与 ${\mathcal{D}}_t$ 中向量场的流，构造在 $R_2$ 上为图的浸入子流形 $\widetilde{\Lambda}$，以确保扩张结构的一致性。
• 通过在 $\widetilde{\Lambda}$ 上验证 $\widetilde{\Theta} = 0$ 的条件，确认扩张的可积性与曲率异常的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从李群胚结构的角度几何实现不同可微堆栈上的 $S^1$-gerbes？
• RQ2 $S^1$-gerbes 与李群胚的 $S^1$-中心扩张之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 能否在可微堆栈与 $S^1$-gerbes 的背景下发展出类似陈-西尔理论的特征类理论？
• RQ4 在何种条件下可以构造具有预定曲率类数据的 $S^1$-中心扩张？
• RQ5 $S^1$-gerbes 的量子化条件如何推广经典 Weil-Kostant 结果至堆栈？

主要发现

• 在不同可微堆栈 ${\mathfrak{X}}$ 上，$H^2({\mathfrak{X}}, S^1)$ 与李群胚的 $S^1$-中心扩张的莫里塔等价类之间存在自然双射。
• 不同可微堆栈上的 $S^1$-gerbes 与李群胚的 $S^1$-中心扩张的莫里塔等价类之间存在一一对应关系。
• 通过利用分布 ${\mathcal{D}}_s$ 与 ${\mathcal{D}}_t$ 中向量场的流，定义在 $R_2$ 上为图的浸入子流形 $\widetilde{\Lambda}$，本文构造了具有预定伪曲率的 $S^1$-中心扩张。
• $\widetilde{\Lambda}$ 上的条件 $\widetilde{\Theta} = 0$ 确保了曲率类数据的一致性与可积性，从而验证了构造的有效性。
• 通过从基群胚的李代数胚提升的向量场的流，实现了给定曲率的 $S^1$-中心扩张的构造。
• 该结果将经典的 Weil-Kostant 量子化推广至堆栈上的 $S^1$-gerbes，通过中心扩张提供了 Dixmier-Douady 类的几何实现。