[论文解读] The Hopf algebra $Rep U_q \hat{gl}_\infty$

Edward Frenkel, E. Mukhin|ArXiv.org|Mar 20, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文在量子仿射代数 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 的有限维多项式表示的格罗滕迪克群上构造了霍普夫代数结构，表明其可分解为指标集 $a \in \mathbb{C}^\times / q^{2\mathbb{Z}}$ 的张量积。当 $q$ 为一般值时，它将 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 与普鲁尼本性代数群 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 上的正则函数代数相联系；在单位根处，它将基本表示的弗罗贝尼乌斯拉回与 $\widetilde{GL}^-_l$ 中的行列式联系起来，从而给出显式公式。

ABSTRACT

We define the Hopf algebra structure on the Grothendieck group of finite-dimensional polynomial representations of $U_q \hat{gl}_N$ in the limit $N o \infty$. The resulting Hopf algebra $Rep U_q \hat{gl}_\infty$ is a tensor product of its Hopf subalgebras $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$, $a\in\C^ imes/q^{2\Z}$. When $q$ is generic (resp., $q^2$ is a primitive root of unity of order $l$), we construct an isomorphism between the Hopf algebra $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$ and the algebra of regular functions on the prounipotent proalgebraic group $SL_\infty^-$ (resp., $ ilde{GL}_l^-$). When $q$ is a root of unity, this isomorphism identifies the Hopf subalgebra of $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$ spanned by the modules obtained by pullback with respect to the Frobenius homomorphism with the algebra generated by the coefficients of the determinant of an element of $ ilde{GL}_l^-$. This gives us an explicit formula for the Frobenius pullbacks of the fundamental representations. In addition, we construct a natural action of the Hall algebra associated to the infinite linear quiver (resp., the cyclic quiver with $l$ vertices) on $Rep_a U_q \hat{gl}_infty$ and describe the span of the tensor products of the evaluation representations taken at fixed points as a module over this Hall algebra.

研究动机与目标

• 定义并研究当 $N \to \infty$ 时，$U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ 的有限维多项式表示的格罗滕迪克群上的霍普夫代数结构。
• 将 $\operatorname{Rep} U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 分解为指标集 $a \in \mathbb{C}^\times / q^{2\mathbb{Z}}$ 的子代数张量积，重点关注 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$。
• 建立 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 与普鲁尼本性无限维代数群 $\widetilde{SL}^-_\infty$（一般 $q$）和 $\widetilde{GL}^-_l$（单位根）上正则函数代数之间的同构。
• 描述与无限线性 quiver 及循环 quiver 有关的霍普夫代数在 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 上的作用，并将固定点处的赋值表示的张量积刻画为这些代数上的模。

提出的方法

• 通过 $N \to \infty$ 时格罗滕迪克群 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ 的归纳极限构造，继承自群同态 $GL_{N_1} \times GL_{N_2} \to GL_N$ 的张量积与共乘法的霍普夫代数结构。
• 当 $q$ 为一般值时，通过 $q$-特征同态以及不可约表示与施瓦茨多项式之间的对应关系，建立 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 与 $\mathbb{Z}[\widetilde{SL}^-_\infty]$ 之间的同构。
• 在单位根处，弗罗贝尼乌斯同态拉回表示，其像被识别为泰勒级数环上 $l \times l$ 矩阵行列式的系数，从而将 $\operatorname{Rep}_a U_\epsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 与 $\mathbb{Z}[\widetilde{GL}^-_l]$ 联系起来。
• 通过 $\operatorname{Rep}_a U_\epsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ 的归纳极限构造霍普夫代数的作用，固定点处的赋值表示的张成空间被实现为无限线性 quiver 或 $l$ 个顶点的循环 quiver 的霍普夫代数上的模。
• 本文使用 $q$-特征同态 $\chi_q: \operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N \to \mathbb{Z}[\Lambda_{i,aq^{2n}}]$，将不可约表示映射为其 $q$-特征。
• 构建了一个交换图（图12），用于关联各种福克空间的整形式、真空模的对偶以及 $\widetilde{SL}^-_\infty$、$\widetilde{GL}^-_l$ 和 $\widetilde{SL}^-_l$ 上的函数代数，且证明所有映射均交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $N \to \infty$ 时，$U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ 的有限维多项式表示的格罗滕迪克群如何行为？它继承了何种霍普夫代数结构？
• RQ2 当 $q$ 为一般值时，$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 与 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 上正则函数代数之间的精确同构是什么？
• RQ3 在单位根处，弗罗贝尼乌斯同态如何作用于基本表示？其像在泰勒级数环上 $l \times l$ 矩阵行列式的系数中如何表示？
• RQ4 无限线性 quiver 与 $l$ 个顶点的循环 quiver 的霍普夫代数如何作用于 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$？固定点处赋值表示的张成空间作为模如何结构化？
• RQ5 在单位根情形下，能否从 $q$-特征的生成函数中恢复不可约可积 $\widehat{\mathfrak{sl}}_l$-模的特征？

主要发现

• 当 $q=1$ 时，霍普夫代数 $\operatorname{Rep} U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 同构于对称函数代数 $\Lambda_\infty$，并通过归纳极限构造推广至量子群。
• 当 $q$ 为一般值时，$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 同构于普鲁尼本性无限维代数群 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 上正则函数代数，同构由 $q$-特征同态诱导。
• 当 $q^2$ 为 $l$ 次单位根时，$\operatorname{Rep}_a U_\epsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 同构于 $\mathbb{Z}[\widetilde{GL}^-_l]$，且基本表示的弗罗贝尼乌斯拉回对应于泰勒级数环上 $l \times l$ 矩阵行列式的系数。
• 固定点处赋值表示的张量积的张成空间构成无限线性 quiver（或 $l$ 个顶点的循环 quiver）的霍普夫代数上的模，其作用通过归纳极限构造实现。
• 在单位根情形下，$q$-特征的生成函数 $\chi^{(l)}_{\boldsymbol{s}}(\xi)$ 与主分次下不可约可积 $\widehat{\mathfrak{sl}}_l$-模（权重为 $\sum_{i=1}^k \varpi_{s_i}$）的特征一致，如图12中的交换图所支持并证实。
• 图12中关联福克空间的整形式、真空模的对偶以及 $\widetilde{SL}^-_\infty$、$\widetilde{GL}^-_l$ 和 $\widetilde{SL}^-_l$ 上函数代数的所有映射均被证明交换，从而建立了量子群对偶性的统一框架。