[论文解读] The Impossibility of Approximate Agreement on a Larger Class of Graphs

Dan Alistarh, Faith Ellen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2021

Distributed systems and fault tolerance参考文献 32被引用 2

一句话总结

本文通过Sperner引理的新型推广及对2-集合协议的约化，证明了在包括长度≥4的环和某些非弦图在内的广泛图类上，无法实现无等待的近似一致。此外，本文还提出了一个正面结果：针对一类严格包含弦图的图类，设计了一种无等待算法，从而确定了共享内存系统中该问题的可解性边界。

ABSTRACT

Approximate agreement is one of the few variants of consensus that can be solved in a wait-free manner in asynchronous systems where processes communicate by reading and writing to shared memory. In this work, we consider a natural generalisation of approximate agreement on arbitrary undirected connected graphs. Each process is given a vertex of the graph as input and, if non-faulty, must output a vertex such that - all the outputs are within distance 1 of one another, and - each output value lies on a shortest path between two input values. From prior work, it is known that there is no wait-free algorithm among $n \ge 3$ processes for this problem on any cycle of length $c \ge 4$, by reduction from 2-set agreement (Castañeda et al., 2018). In this work, we investigate the solvability and complexity of this task on general graphs. We give a new, direct proof of the impossibility of approximate agreement on cycles of length $c \ge 4$, via a generalisation of Sperner's Lemma to convex polygons. We also extend the reduction from 2-set agreement to a larger class of graphs, showing that approximate agreement on on these graphs is unsolvable. Furthermore, we show that combinatorial arguments, used by both existing proofs, are necessary, by showing that the impossibility of a wait-free algorithm in the nonuniform iterated snapshot model cannot be proved via an extension-based proof. On the positive side, we present a wait-free algorithm for a class of graphs that properly contains the class of chordal graphs.

研究动机与目标

• 确定在任意无向连通图上无等待近似一致的可解性。
• 识别在异步共享内存系统中导致近似一致不可解的图的结构性质。
• 通过从2-集合协议的约化，将已知的不可能性结果从环扩展至更广泛的图类。
• 证明在无等待模型中，组合论证（如Sperner型标记）是证明不可能性的必要手段。
• 提出一种针对图类的新无等待算法，该图类严格扩展了弦图，从而提供一个正面的可解性结果。

提出的方法

• 将Sperner引理推广至凸多边形，以提供对长度≥4的环上不可能性的直接组合证明。
• 通过从2-集合协议的约化，证明在环之外的更广泛图类上近似一致不可解。
• 证明在非均匀迭代快照模型中，不可能性无法通过基于扩展的证明方法建立，从而确立了组合技术的必要性。
• 设计一种同步消息传递算法，首先利用2-集合协议将输入集大小减少至最多两个，然后在最短路径上应用迭代路径收缩。
• 定义一个函数 ψ(X)，将至多两个节点的集合映射到其最短路径上的中心节点，确保有效性和收敛性。
• 使用 ⌊f/2⌋ + ⌈log₂ diam(G)⌉ + 1 轮的步骤复杂度，其中 f 为拜占庭故障数，diam(G) 为图的直径。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些图类上无等待近似一致是不可能的？其导致不可能性的结构性特征是什么？
• RQ2 是否可以不依赖约化，通过直接方法证明长度≥4的环上无等待近似一致的不可能性？
• RQ3 在无等待模型中，证明不可能性是否必须依赖组合论证（如Sperner型标记）？
• RQ4 无等待近似一致可解的图类的最大集合是什么？
• RQ5 在同步系统中，能否以图的直径和容错能力为参数，界定近似一致的复杂度？

主要发现

• 本文通过将Sperner引理推广至凸多边形，为长度 c ≥4 的环上无等待近似一致的不可能性提供了新的直接证明。
• 通过从2-集合协议的约化，将不可能性结果从环扩展至更广泛的图类，表明这些图上近似一致不可解。
• 研究表明，在非均匀迭代快照模型中，组合论证是必要的，因为基于扩展的证明无法建立此类不可能性结果。
• 本文提出了一种针对一类图的无等待算法，该图类严格包含弦图类，表明弦图并非可解类的最大集合。
• 该算法在同步消息传递模型中以 ⌊f/2⌋ + ⌈log₂ diam(G)⌉ + 1 轮完成近似一致，正确性通过向最短路径的迭代收缩确保。