[论文解读] The incompressible limit in $L^p$ type critical spaces

Raphaël Danchin, Ling-Bing He|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在 $L^p$-型临界 Besov 空间中建立了可压缩 Navier-Stokes 方程的低马赫数极限，证明在最小正则性假设下收敛于不可压缩 Navier-Stokes 方程。该研究将先前基于 $L^2$ 的能量方法推广至临界正则性框架，表明当 $p \in [2,4]$ 且 $r \in [1,\infty]$ 时，仅需初始速度的散度为零且属于 $\dot{B}^{d/p-1}_{p,r} \cap \dot{B}^{-1}_{\infty,1}$ 即可实现收敛，且低频分量的 $L^2$-型界不可避免，这是由于声波的影响。

ABSTRACT

This paper aims at justifying the low Mach number convergence to the incompressible Navier-Stokes equations for viscous compressible flows in the ill-prepared data case. The fluid domain is either the whole space, or the torus. A number of works have been dedicated to this classical issue, all of them being, to our knowledge, related to $L^2$ spaces and to energy type arguments. In the present paper, we investigate the low Mach number convergence in the $L^p$ type critical regularity framework. More precisely, in the barotropic case, the divergence-free part of the initial velocity field just has to be bounded in the critical Besov space $\dot B^{d/p-1}_{p,r}\cap\dot B^{-1}_{\infty,1}$ for some suitable $(p,r)\in[2,4] imes[1,+\infty].$ We still require $L^2$ type bounds on the low frequencies of the potential part of the velocity and on the density, though, an assumption which seems to be unavoidable in the ill-prepared data framework, because of acoustic waves. In the last part of the paper, our results are extended to the full Navier-Stokes system for heat conducting fluids.

研究动机与目标

• 在非准备充分数据情形下，利用 $L^p$-型临界正则性空间，证明黏性可压缩流的低马赫数极限。
• 将先前基于 $L^2$ 的能量方法推广至临界 Besov 空间，特别是 $\dot{B}^{d/p-1}_{p,r}$ 和 $\dot{B}^{-1}_{\infty,1}$，以处理初始速度中与散度为零部分的正则性。
• 确定确保收敛至不可压缩 Navier-Stokes 方程的最小正则性条件，同时通过密度和势速度分量低频部分的 $L^2$-型界来考虑声波的影响。
• 将结果推广至同一临界框架下的热传导流体全 Navier-Stokes 系统。

提出的方法

• 使用齐次 Littlewood-Paley 分解 $(\dot{\Delta}_j)_{j \in \mathbb{Z}}$ 定义临界 Besov 空间 $\dot{B}^{s}_{p,r}$，并分析解的频率局部化分量。
• 应用 Bony 的分解 $uv = T_u v + R(u,v) + T_v u$ 来处理可压缩 Navier-Stokes 系统中的非线性项。
• 采用拟积和交换子估计，特别是 $\| [\dot{S}_{j_0}A(D), T_a]b \|_{\dot{B}^{\sigma+s}_{p,1}} \lesssim \| \nabla a \|_{\dot{B}^{s-1}_{p_1,1}} \| b \|_{\dot{B}^{\sigma}_{p_2,\infty}}$，以控制非线性相互作用。
• 引入一种改进的能量泛函，包含 $\| \delta \Theta^\varepsilon \|_{L^\infty(\dot{B}^{(d+1)/p-3/2}_{p,1} + \dot{B}^{d/p-2}_{p,1})}$ 和 $L^2$-型范数，以追踪收敛速率。
• 利用临界框架的尺度不变性：$(a,u) \mapsto (a, \ell u)(\ell^2 t, \ell x)$，以指导函数空间的选择。
• 应用光滑函数 $G$（满足 $G(0) = 0$）的复合估计，如 $\| G(a) \|_{\dot{B}^s_{p,1}} \lesssim \| a \|_{\dot{B}^s_{p,1}}$，以控制非线性压力和黏性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $L^p$-型临界空间中而非基于 $L^2$ 的能量空间中证明低马赫数极限？
• RQ2 在非准备充分数据情形下，初始速度中与散度为零部分的最小正则性要求是什么？
• RQ3 声波如何影响正则性假设，特别是对低频分量的影响？
• RQ4 临界框架能否推广至包含热传导的全 Navier-Stokes 系统？
• RQ5 交换子和拟积估计在临界正则性设定下控制非线性项时起什么作用？

主要发现

• 初始速度中与散度为零部分仅需有界于 $\dot{B}^{d/p-1}_{p,r} \cap \dot{B}^{-1}_{\infty,1}$，其中 $p \in [2,4]$ 且 $r \in [1,\infty]$，这是临界正则性的精确条件。
• 由于非准备充分数据情形下声波效应持续存在，对势速度和密度低频部分的 $L^2$-型界仍然必要。
• 在 $L^p$-型临界框架下，已建立收敛至不可压缩 Navier-Stokes 方程的结果，收敛速率通过涉及 $\dot{B}^{(d+1)/p-3/2}_{p,1}$ 和 $\dot{B}^{d/p-2}_{p,1}$ 正则性的 $\delta X^\varepsilon$-型范数控制。
• 结果已推广至热传导流体的全 Navier-Stokes 系统，保持相同的临界正则性假设。
• 证明依赖于结合 $L^\infty$ 和 $L^2$-型范数的精细能量估计，通过拟积和交换子估计对非线性项进行仔细控制。
• 该框架在尺度变换 $(a,u) \mapsto (a, \ell u)(\ell^2 t, \ell x)$ 下保持不变，确保与极限系统的尺度一致性。