[论文解读] The infinite unitary group, Howe dual pairs, and the quantization of constrained systems

N.P. Landsman|ArXiv.org|Nov 23, 1994

Advanced Operator Algebra Research参考文献 41被引用 3

一句话总结

该论文通过几何量子化与里夫埃尔归纳法，利用豪对偶对和辛商空间重构了无穷维酉群 $U_0(\mathcal{H})$ 的不可约酉表示。结果表明，当省略或修改半形式校正时，通过里夫埃尔归纳法实现的量子化可重现基里洛夫-奥利尚斯基的表示，但若应用半形式校正则导致不一致，揭示了在约束系统上进行量子化时可能存在的根本障碍。

ABSTRACT

The irreducible unitary representations of the Banach Lie group $U_0(\H)$ (which is the norm-closure of the inductive limit $\cup_k U(k)$) of unitary operators on a separable Hilbert space $\H$, which were found by Kirillov and Ol'shanskii, are reconstructed from quantization theory. Firstly, the coadjoint orbits of this group are realized as Marsden-Weinstein symplectic quotients in the setting of dual pairs. Secondly, these quotients are quantized on the basis of the author's earlier proposal to quantize a more general symplectic reduction procedure by means of Rieffel induction (a technique in the theory of operator algebras). As a warmup, the simplest such orbit, the projective Hilbert space, is first quantized using geometric quantization, and then again with Rieffel induction. Reduction and induction have to be performed with either $U(M)$ or $U(M,N)$. The former case is straightforward, unless the half-form correction to the (geometric) quantization of the unconstrained system is applied. The latter case, in which one induces from holomorphic discrete series representations, is problematic. For finite-dimensional $\H=\C^k$, the desired result is only obtained if one ignores half-forms, and induces from a representation, `half' of whose highest weight is shifted by $k$ (relative to the naive orbit correspondence). This presumably poses a problem for any theory of quantizing constrained systems.

研究动机与目标

• 通过量子化技术重构无穷维酉群 $U_0(\mathcal{H})$ 的不可约酉表示。
• 研究辛约化与里夫埃尔归纳法在将余伴随轨道实现为量子化空间中的作用。
• 解决在约束系统背景下应用半形式校正时量子化结果不一致的问题。
• 澄清无穷维酉群中轨道与表示之间的对应关系。
• 检验里夫埃尔归纳法在无穷维李群对偶对框架下的鲁棒性。

提出的方法

• 在豪对偶对框架下，将 $U_0(\mathcal{H})$ 的余伴随轨道实现为马尔斯登-韦因斯坦的辛商空间。
• 应用里夫埃尔归纳法对这些辛商空间进行量子化，以 $U(M)$ 或 $U(M,N)$ 的表示作为输入。
• 将射影希尔伯特空间的几何量子化结果与里夫埃尔归纳法的结果进行比较。
• 使用全纯离散系列表示作为归纳数据，特别分析相对于朴素轨道对应关系的权移。
• 分析几何量子化中半形式校正的影响及其与期望表示结果的不相容性。
• 对 $U(M)$ 或 $U(M,N)$ 进行约化与归纳，并评估两种情形下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过辛约化与里夫埃尔归纳法重构 $U_0(\mathcal{H})$ 的不可约酉表示？
• RQ2 半形式校正在 $U_0(\mathcal{H})$ 的余伴随轨道量子化中起什么作用？
• RQ3 为何从全holomorphic离散系列表示进行归纳时，除非进行权移，否则无法重现正确的表示？
• RQ4 对偶对在无穷维设定下如何促进约束系统的量子化？
• RQ5 这些结果对约束系统的一般量子化理论有何影响？

主要发现

• 通过豪对偶对构造，$U_0(\mathcal{H})$ 的余伴随轨道被实现为辛商空间。
• 对射影希尔伯特空间进行几何量子化，可得到预期的福克-巴格曼表示。
• 当省略半形式校正时，从 $U(M)$ 进行的里夫埃尔归纳可重现正确的表示。
• 当使用 $U(M,N)$ 和全纯离散系列时，仅当最高权相对于朴素对应关系发生 $k$ 的权移时，才能得到正确结果。
• 半形式校正导致不一致，表明在标准几何量子化中，对约束系统进行量子化可能面临根本障碍。
• 若不修改权或省略半形式校正，则无法重现表示，表明一般约束系统量子化方案中可能存在潜在缺陷。